线性常微分方程

日期: 2023-10-21 21:55 查看: 20 次更新导出Word

线性常微分方程是一类基本的常微分方程，它有形式

$$
\frac{\mathrm{d}^n y}{\mathrm{~d} x^n}+a_1(x) \frac{\mathrm{d}^{n-1} y}{\mathrm{~d} x^{n-1}}+\cdots+a_{n-1}(x) \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+a_n(x) y=f(x)
$$

其中 $a_i(x), i=1,2, \cdots, n$ 是关于自变量 $x \in[a, b]$ 的连续函数，我们称上述方程为一个 $n$ 阶线性常微分方程。如果 $f(x) \neq 0$ ，我们就称上述方程是非齐次线性常微分方程，反之称为齐次线性微分方程。对于非齐次线性微分方程 $(*)$ ，我们称下面的方程为它对应的齐次微分方程

$$
\frac{\mathrm{d}^n y}{\mathrm{~d} x^n}+a_1(x) \frac{\mathrm{d}^{n-1} y}{\mathrm{~d} x^{n-1}}+\cdots+a_{n-1}(x) \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+a_n(x) y=0
$$

如果 $a_i(x), i=1,2, \cdots, n$ 在 $x \in[a, b]$ 上恒为常数，我们就说这是一个常系数线性微分方程。

## 解的存在唯一定理

设函数 $a_i(x), i=1,2, \cdots, n$ 及 $f(x)$ 在 $x \in[a, b]$ 上连续，方程 $(*)$ 有任给的初值条件 $\left(x_0, y_0, y_0^{\prime}, \cdots, y_0^{(n-1)}\right), x_0 \in[a, b]$ ，则满足该条件且定义在 $x \in[a, b]$ 上的解 $\varphi(x)$ 存在且唯一。这就线性常微分方程的解的存在唯一定理，其证明需要用到常微分方程组以及一阶常微分方程的一般理论。

## 解的结构

我们先来考虑齐次方程 $(* *)$ ，它有初值条件 $\left(x_0, y_0, y_0^{\prime}, \cdots, y_0^{(n-1)}\right)$ ，假设 $\varphi_1(x), \varphi_2(x), \cdots, \varphi_n(x)$ 是它的解，那么这些函数的任意线性组合

$$
\widetilde{\varphi}(x)=\sum_{i=1}^n c_i \varphi_i(x)
$$

都是 $(* *)$ 的解，这被称为叠加原理。
引入 Wronsky 行列式:

$$
W(x)=\left|\begin{array}{cccc}
\varphi_1(x) & \varphi_2(x) & \cdots & \varphi_n(x) \\
\varphi_1^{\prime}(x) & \varphi_2^{\prime}(x) & \cdots & \varphi_n^{\prime}(x) \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\varphi_1^{(n-1)}(x) & \varphi_2^{(n-1)}(x) & \cdots & \varphi_n^{(n-1)}(x)
\end{array}\right|, \quad x \in[a, b]
$$

容易验证由函数组 $\varphi_1(x), \varphi_2(x), \cdots, \varphi_n(x), \forall x \in[a, b]$ 线性相关可以推出 $W(x) \equiv 0, x \in[a, b]$ 。并且可以证明，如果方程 $(* *)$ 存在一组线性无关的解 $\varphi_1(x), \varphi_2(x), \cdots, \varphi_n(x), \forall x \in[a, b]$ （这也就是说 $\left.\exists x_0 \in[a, b], W\left(x_0\right) \neq 0\right)$ ，那么必然有 $W(x) \neq 0, \forall x \in[a, b]$.

因此，方程 (**) 任意 $n$ 个解的 Wronsky 行列式在 $x \in[a, b]$ 上要么处处为零 (此时解的函数组线性相关)，要么处处不为零 (此时解的函数组线性无关) 。于是，满足以下 $n$ 个初值条件

$$
\left\{\begin{array}{l}
\varphi_1\left(x_0\right)=1, \varphi_2\left(x_0\right)=0, \varphi_3\left(x_0\right)=0, \cdots, \varphi_n\left(x_0\right)=0, \\
\varphi_1^{\prime}\left(x_0\right)=0, \varphi_2^{\prime}\left(x_0\right)=1, \varphi_3\left(x_0\right)=0, \cdots, \varphi_n^{\prime}\left(x_0\right)=0 \\
\varphi_1^{\prime \prime}\left(x_0\right)=0, \varphi_2^{\prime \prime}\left(x_0\right)=0, \varphi_3^{\prime \prime}\left(x_0\right)=1, \cdots, \varphi_n^{\prime \prime}\left(x_0\right)=0 \\
\cdots, \\
\varphi_1^{(n-1)}\left(x_0\right)=0, \varphi_2^{(n-1)}\left(x_0\right)=0, \varphi_3^{(n-1)}\left(x_0\right)=0, \cdots, \varphi_n^{(n-1)}\left(x_0\right)=1 .
\end{array}\right.
$$

的 $n$ 个解 $\varphi_1(x), \varphi_2(x), \cdots, \varphi_n(x)$ 存在且唯一，构成一个函数组，由于 $W\left(x_0\right)=1 \neq 0$ ，故这个函数组是线性无关的，进而得出线性微分方程一定有 $n$ 个线性无关的解。

进一步，我们还可以证明（略去），如果已知这样 $x \in[a, b]$ 上的 $n$ 个线性无关的解（被称为基本解组），那么它所有的解 (通解) 都可以表示为这 $n$ 个解的线性组合，即

$$
\widetilde{\varphi}(x)=\sum_{i=1}^n c_i \varphi_i(x)
$$

实际上所有 $(* *)$ 的解可以组成一个函数空间 $F$ ，显然这是一个 $n$ 维线性空间。解齐次线性常微分方程的关键，就是找出 $n$ 个线性无关的函数组。

而对于非齐次线性常微分方程 $(*)$ ，已知它的一个特解为 $\bar{\varphi}(x)$ ，且它所对应的齐次方程的通解为 $\widetilde{\varphi}(x)$ ，那么非齐次方程 $(*)$ 的通解为

$$
\varphi(x)=\bar{\varphi}(x)+\widetilde{\varphi}(x) .
$$

因此，求解非齐次的关键是寻找一个特解和对应齐次方程的 $n$ 个线性无关的解。

## 常数变易法

实际上，对于非齐次方程 (*)，像一阶的情形那样，我们也可对相应的齐次方程的一个基本解组做常数变易

$$
\varphi(x)=\sum_{i=1}^n c_i(x) \varphi_i(x), x \in[a, b]
$$

来求得，这里略去证明，仅叙述一个可行的方法。
这里，我们假设已知了齐次方程的一个基本解组 $\varphi_1(x), \varphi_2(x), \cdots, \varphi_n(x)$ ，那么有以下关于待定函数 $c_1^{\prime}(x), c_2^{\prime}(x), \cdots, c_n^{\prime}(x)$ 的齐次线性方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
\varphi_1(x) c_1^{\prime}(x)+\varphi_2(x) c_2^{\prime}(x)+\cdots+\varphi_n(x) c_n^{\prime}(x)=0, \\
\varphi_1^{\prime}(x) c_1^{\prime}(x)+\varphi_2^{\prime}(x) c_2^{\prime}(x)+\cdots+\varphi_n^{\prime}(x) c_n^{\prime}(x)=0, \\
\varphi_1^{\prime \prime}(x) c_1^{\prime}(x)+\varphi_2^{\prime \prime}(x) c_2^{\prime}(x)+\cdots+\varphi_n^{\prime \prime}(x) c_n^{\prime}(x)=0, \\
\cdots, \\
\varphi_1^{(n-1)}(x) c_1^{\prime}(x)+\varphi_2^{(n-1)}(x) c_2^{\prime}(x)+\cdots+\varphi_n^{(n-1)}(x) c_n^{\prime}(x)=0 .
\end{array}\right.
$$

它的系数行列式就是 Wronsky 行列式 $W(x) \neq 0$ ，因此方程组有唯一非零解 (要求解出具体表达式) $c_1^{\prime}(x), c_2^{\prime}(x), \cdots, c_n^{\prime}(x)$ ，这样就得到非齐次方程 $(*)$ 的通解

$$
\begin{aligned}
\varphi(x) & =\sum_{i=1}^n \varphi_i(x)\left(\int c_i^{\prime}(x) \mathrm{d} x+C_i\right) \\
& =\sum_{i=1}^n C_i \varphi_i(x)+\sum_{i=1}^n \varphi_i(x) \int c_i^{\prime}(x) \mathrm{d} x .
\end{aligned}
$$

其中， $C_i, i=1,2, \cdots, n$ 是任意常数，为了得到一个特解，仅需令所有积分常数为零，即

$$
\bar{\varphi}(x)=\sum_{i=1}^n c_i(x) \varphi_i(x), x \in[a, b]
$$

这样就重新获得非齐次的通解为一个特解加上齐次通解的结论。

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