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初等数论 Elementary Number Theory
初等数论
费马小定理
费马小定理
日期:
2023-10-24 14:07
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费马小定理是指对于任意质数 $p$ 及任意正整数 $a$ 而言， $a$ 的 $p$ 次方减 $a$ 可为 $p$ 除尽，或当 $a$ 与 $p$ 互质时， $a$ 的 $p-1$ 次方除以 $p$ 的余数为1。 费马小定理的可推广至对任意互质正整数的 $a$ 和 $m$ 上，对任意的 $a$ 而言，当 $a$ 与 $m$ 互质时， $a$ 的 $\varphi(m)$ 次方除以 $m$ 的余数为 1 ，其中 $\varphi(m)$ 是不大于 $m$ 且与 $m$ 互质的正整数个数。 ## 证明 **此处所给之证明可能不严谨，或有所疏漏，还请大家校验与修正** 以下证明对质数的状况。 若 $p$ 为质数，则 $1 、 2 、 3 \cdots p-1$ 等数皆与 $p$ 互质，且 $\{1,2,3, \ldots \ldots ., p-1\}$ 构成模 $p$ 的一个完全剩余系，对于任意与 $p$ 互质的 $x$ 而言， $x 、 2 x 、 3 x$...等也与 $p$ 互质，且 $\{x, 2 x, 3 x, \ldots \ldots . .,(p-1) x\}$ 亦构成模 $p$ 的一个完全剩余系，因此， $\prod_{i=1}^{p-1} x i \equiv \prod_{i=1}^N i(\bmod m)$ ，故 $x^{p-1} \prod_{i=1}^N i \equiv \prod_{i=1}^N i(\bmod m)$ ，而 $\left(\prod_{i=1}^N i, p\right)=1$ ，故可做除法将两边的 $\prod_{i=1}^N$ 除去，故得 $x^{p-1} \equiv 1 \quad(\bmod m)$ ，定理得证。
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