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伽罗瓦 Galois
伽罗瓦 Galois
日期:
2023-10-08 17:31
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伽罗瓦（Évariste Galois），法国数学家。群论的创立者。利用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，并由此发展了一整套关于群和域的理论，人们称之为伽罗瓦理论，并把其创造的“群”叫作伽罗瓦群（Galois Group）。 {width=200px} ## 方程的根 伽罗瓦想解决的问题看起来很简单。 **1.一元一次方程** $$ a x+b=0 $$ 直接移项就可以得到 $$ x=-b / a $$ **2.一元二次方程** 在学了一元二次方程 $$ a x^2+b+c=0 $$ 凑平方法也可以容易地得到 $$ x =\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a} $$ **3.一元三次方程** 对于一元三次方程，也找到了求根公式。 $$ \begin{aligned} & x_1=-\frac{b}{3 a}+\sqrt[3]{\frac{b c}{6 a^2}-\frac{b^3}{27 a^3}-\frac{d}{2 a}+\sqrt{\left(\frac{b c}{6 a^2}-\frac{b^3}{27 a^3}-\frac{d}{2 a}\right)^2+\left(\frac{c}{3 a}-\frac{b^2}{9 a^2}\right)^3}}+\sqrt{\frac{b c}{6 a^2}-\frac{b^3}{27 a^3}-\frac{d}{2 a}-\sqrt{\left(\frac{b c}{6 a^2}-\frac{b^3}{27 a^3}-\frac{d}{2 a}\right)^2+\left(\frac{c}{3 a}-\frac{b^2}{9 a^2}\right)^3}} \\ & x_2=-\frac{b}{3 a}+\frac{-1+\sqrt{3} \mathrm{i}}{2} \sqrt[3]{\frac{b c}{6 a^2}-\frac{b^3}{27 a^3}-\frac{d}{2 a}+\sqrt{\left(\frac{b c}{6 a^2}-\frac{b^3}{27 a^3}-\frac{d}{2 a}\right)^2+\left(\frac{c}{3 a}-\frac{b^2}{9 a^2}\right)^3}}+\frac{-1-\sqrt{3} \mathrm{i}}{2} \sqrt{\frac{b c}{6 a^2}-\frac{b^3}{27 a^3}-\frac{d}{2 a}-\sqrt{\left(\frac{b c}{6 a^2}-\frac{b^3}{27 a^3}-\frac{d}{2 a}\right)^2+\left(\frac{c}{3 a}-\frac{b^2}{9 a^2}\right)^3}} \\ & x_3=-\frac{b}{3 a}+\frac{-1-\sqrt{3}}{2} \sqrt[3]{\frac{b c}{6 a^2}-\frac{b^3}{27 a^3}-\frac{d}{2 a}+\sqrt{\left(\frac{b c}{6 a^2}-\frac{b^3}{27 a^3}-\frac{d}{2 a}\right)^2+\left(\frac{c}{3 a}-\frac{b^2}{9 a^2}\right)^3}}+\frac{-1+\sqrt{3} \mathrm{i}}{2} \sqrt{\frac{b c}{6 a^2}-\frac{b^3}{27 a^3}-\frac{d}{2 a}-\sqrt{\left(\frac{b c}{6 a^2}-\frac{b^3}{27 a^3}-\frac{d}{2 a}\right)^2+\left(\frac{c}{3 a}-\frac{b^2}{9 a^2}\right)^3}} \end{aligned} $$ 不久之后，四次方程的公式也被人们发现了。四次方程的解如此复杂，以至于一页纸都不一定能写的下，这也鞭策着那些相信努力就会收获的数学家，找出五次方程的解而扬名立万。 到了拉格朗日这一代，大多数人已经确信，五次方程是无法以现有方法解出来的了，不过直到伽罗瓦为止，都没有人能为这种似是而非的论断给出清晰又严格的证明。 这就是我们的问题: 为什么有理系数的一元五次方程不能通过有限次的加、减、乘、除、开根号 得到一般解? 为了搞清楚，为什么 $5$ 以上的数字跟 $2 ， 3 ， 4$ 如此不同，我们先来看一看 $1$ 与 $2 ， 3 ， 4$ 有何不同。 对一元方程来说，要求解，只需要进行加减乘除运算即可，而加减乘除，并不会让有理数变成无理 数 。通常我们将有理数表示为 $Q$ ，而有了对加减乘除封闭的性质，我们就可以把 $Q$ 称为有理数域 $Q$ 。域的定义你就可以直接理解为: 集合元素对加减乘除封闭。大家熟知的实数，复数也都是域。 为什么我们要谈封闭性? 很简单，因为方程里面只含有加减乘除，要是不封闭了，那 $x$ 就不是有 理数，那这样 $\mathrm{c}$ 也就不是有理数了。显然，这是矛盾的。 那$2,3,4 $ 呢? 比如说方程 $x^2-4 x+1=0$ 很容易求出它的两个解是 $$ \begin{aligned} & x_1=2+\sqrt{3} \\ & x_2=2-\sqrt{3} \end{aligned} $$ 这个解很显然不在 $Q$ 之内，那我们现在要把 $Q$ 扩大，使新的域正好包含上面的根，又不至于太 大，以至于包含太多其他东西，即最小扩张 $\mathrm{Q}$ 。那么我们最终得到的就是这样一个集合: $$ \{a+b \sqrt{3} \mid a, b \in \mathbb{Q}\} $$ 这个域我们把它叫做 $\mathrm{Q}[\sqrt{3}]$ ，它是包含 $\sqrt{3}$ 在内的最小的域。你无聊可以验证一下，它对于加 减乘除确实是封闭的。这里从 $Q$ 到 $Q[\sqrt{3}$ ] 的过程，我们称之为域扩张。你可以把这里的域扩张 $Q$ 理解为一个直角坐标， $X$ 轴上仍然是有理数，单位是 1 ，而 $Y$ 轴上就是 $\sqrt{3}$ 的倍数。这样平面上的 每一点都可以代表 $Q[\sqrt{3}]$ 中的一个数。这样扩张的维数就是平面相对于 $X$ 轴的维数，记作 $$ [\mathbb{Q}[\sqrt{3}]: \mathbb{Q}]=2 \text {. } $$ 当我们谈到可以用根式解方程的时候，我们其实是在说: 我们可以将类似于 $\sqrt[3]{7}, \sqrt[5]{8}$ 这样整数的 整次根，加入到 $\mathrm{Q}$ 中，以此作上述域扩张，使扩张后的域，包含方程的解。 那么到这里，问题就好理解了。从 1 到 2,3,4 的过程，其实用根式来扩张 $Q$ 的过程。可以想见，要 是 5 次以上的方程不能这样扩张, 自然就不能用根式解 ${ }^{\circ}$ 了。 怎么才能证明扩张无法实现呢? 目前我们还没有什么思路去直接证明，但阿贝尔和伽罗瓦迎难而 上。他们不约而同地注意到，方程的根具有奇妙的对称性。一般来说，如果一个图形具有复杂的对 称性，那图形本身也就较为复杂。这给了他们启示：根的对称性是否意味着域扩张的复杂性呢? 果 不其然，这种对称性揭示了域扩张与群的子群 ${ }^{\circ}$ 之间优美的对偶，使得我们可以通过研究群的可解 性来回答方程解的性质。 还是回到之前的方程 $$ x^2-4 x+1=0 $$ 我们先不管解是什么。而是利用一个非常经典的结论：在复数域 $\mathbb{C}$ 中, $n$ 次方程定有 $n$ 个 根（包含类似 $(x-1)^2=0$ 这样 $x_1=x_2=1$ 的重根）。这是高斯在他的博士论文中 首次证明的优美结论。这个结论的证明涉及的更多是复分析而不是代数, 所以我们在这里不再 提它。假设根是 $x_1, x_2$, 那么就有 $$ \left\{\begin{array}{l} x_1+x_2=4 \\ x_1 x_2=1 \end{array}\right. $$ 我们可以看到, 这两个根相当地对称。即使我们交换一下 $x_1$ 和 $x_2$, 上述方程的形式也不会 变化。这就启发我们在保持方程形式不变的情况下, 对整个方程进行变换。假如说有这么一个 函数 $\sigma$, 作用在扩张后的域（扩域）上, $$ \sigma\left(x^2-4 x+1\right) $$ 不改变形式, 就要求这个函数能保持加法和乘法, 这表明 $\sigma$ 是一个同态, 即是说 $$ \sigma(a+b)=\sigma(a)+\sigma(b), \sigma(a b)=\sigma(a) \sigma(b) $$ 而且要求不改变系数, 这表明 $\sigma$ 将有理数映射到自身（固定 $\mathbb{Q}$ ), 即使说 $$ \sigma(q)=q, \forall q \in \mathbb{Q} $$ 那么 $$ \begin{aligned} \sigma\left(x^2-4 x+1\right) & =\sigma(x)^2-\sigma(4) \sigma(x)+\sigma(1) \\ & =\sigma(x)^2-4 \sigma(x)+1 \end{aligned} $$ 从形式不变可以看出， $\sigma(x)$ 仍然是方程的解。但是这个方程一共就那两个解，所以 $\sigma$ 这个函数 正好就是我们之前说的置换根的函数。在这个例子中， $\sigma$ 只有两种可能一一是交换 $x_1 ， x_2$ ， 即 $x_1 \leftrightarrow x_2$ ，另一种是恒同变化 $\mathrm{Q} \mathrm{e}$ ，即把任何数映射到自身。这些 $\sigma$ 有非常良好的性质 1. 无论它们怎么组合， $\sigma$ 的复合仍然属于这个集合； 2. 不管施加怎样的变换，总有另一个变换可以让根回到初始状态; 3. 存在 e 这么一个无而治的变换。 可以看到, $\sigma$ 的组合, 非常类似于数的乘法。但这是一种只有乘法没有加法的运算（当然你 偏要把它的运算叫做加法也没什么区别, 那样就没有乘法) 。满足这样运算规律的集合, 我们 称之为群。上面的 $\sigma$ 构成的就是能改变域 $\mathbb{Q}[\sqrt{3}]$ 内元素顺序的置换群, 而且正好固定了 $\mathbb{Q}$ (将有理数映射到自身)，而且没有固定 $\mathbb{Q}$ 以外的元素（ $e$ 固定所有元素，但 $x_1 \leftrightarrow x_2$ 只固定了 $\mathbb{Q}$, 这里我们自然应当取小的那个域, 也就是 $\mathbb{Q}$, 这时 $\mathbb{Q}$ 称为群的 固定域）。我们就把这样的扩张称为正规扩张（或伽罗瓦扩张）, 把 $\sigma$ 构成的群叫做伽罗瓦 群 $\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}[\sqrt{3}] / \mathbb{Q}$ ) 。在这个例子中, 伽罗瓦群有 2 个元素（交换和恒同变换）, 而扩张 的维数 $[\mathbb{Q}[\sqrt{3}]: \mathbb{Q}]$ 也正好是 2 。可以证明, 这两者是恒相等的。这就给了我们更多理由 相信: 伽罗瓦群对于描述域扩张至关重要。 群 $\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}[\sqrt{3}] / \mathbb{Q})$ 固定 $\mathbb{Q}$, 那什么固定 $\mathbb{Q}[\sqrt{3}]$ 呢? 答案是 $\{e\}$ 。 $e$ 这个元素是 $\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}[\sqrt{3}] / \mathbb{Q})$ 的子集。如果单看 $\{e\}$ 这个集合的话, 你会发现它也是一个群, 是 $\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}[\sqrt{3}] / \mathbb{Q})$ 的子群（也就是说是它的子集, 自己又形成群）。在这个例子中, 群 $\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}[\sqrt{3}] / \mathbb{Q})$ 就只有这么一个子群。那么要是别的群有非 $\{e\}$ 子群（或者叫非平凡子 群, 平凡子群指的就是 $\{e\}$ ) 呢? 假如这样的子群存在, 想必它固定的应该是介于 $\mathbb{Q}$ 和 $\mathbb{Q}[\sqrt{3}]$ 之间的某个域。我们这就来看一看。 方程 $x^3-2=0$ 的三个根分别是 $$ \left(\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{2} e^{i 2 \pi / 3}, \sqrt[3]{2} e^{i 4 \pi / 3}\right) $$ 显而易见，这里的域扩张是 $$ \mathbb{Q}\left[\sqrt[3]{2}, e^{i 2 \pi / 3}\right] \text { 或写成 } \mathbb{Q}[\sqrt[3]{2}, \zeta] $$ 它对应的伽罗瓦群Q是 $S_3$ ，也就是图中 3 个数的所有置换，应该有 $3 !=6$ 个元素，分别为 (123) (132)(213)(231)(312)(321)，这个群相当于是三角形的所有对称操作，也就是说，将三角形翻转或 旋转后，与原图形重合的所有操作。 {width=300px} 下表（称为凯莱表）列出了 $S3$ 的乘法规律  其中 $r$ 代表旋转 $120^{\circ}, f$ 代表翻转。注意, $r f$ 和 $f r$ 是不同的, 可以通过画图来检验。 这代表 $S_3$ 是不可交换的（非阿贝尔群）。 另一种将群可视化的方法是凯莱图 {width=300px} 有了上面这些工具, 我们就可以着手, 来找一找 $S_3$ 的子群。只要挨个去掉其中的元素, 再检 查剩下的部分是否构成群就能搞定。我们将 $S_3$ 的子群和 $\mathbb{Q}$ 到 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \zeta)$ 的扩张一并画在 下图  这似乎太巧了：子群的结构和域扩张的结构完全相同。而这并不是巧合。再来一个例子：下 图是域扩张 $\mathbb{Q}[\sqrt[4]{2}, i]$ 和它的伽罗瓦群 $D_4$ ( $D_4$ 相当于是正方形旋转翻转的对称群) {width=500px}
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