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庞加莱 Poincaré
庞加莱 Poincaré
日期:
2023-10-08 18:52
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亨利·庞加莱，法国数学家、天体力学家、数学物理学家、科学哲学家，生于法国南锡，卒于巴黎。庞加莱的研究涉及数论、代数学、几何学、拓扑学、天体力学、数学物理、多复变函数论、科学哲学等许多领域。 {width=200px} ## 庞加莱猜想 庞加莱猜想（法语：Conjecture de Poincaré），是几何拓扑学中的一条定理，最早由法国数学家儒勒·昂利·庞加莱提出。2006年确认由俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼完成最终证明。 其猜想内容为： ``` 任一单连通的、封闭的三维流形与三维球面同胚。 ``` 上述简单来说就是：每一个没有破洞的封闭三维物体，都拓扑等价于三维的球面。粗浅的比喻即为：如果伸缩围绕一个柳橙表面的橡皮筋，那么可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点；另一方面，如果想象同样的橡皮筋以适当的方向被伸缩在一个甜甜圈表面上，那么不扯断橡皮筋或者甜甜圈，是没有办法把它不离开表面而又收缩到一点的。因此说，柳橙表面是“单连通的”，而甜甜圈表面则不是。 如下图：没有边界的紧致二维曲面在拓扑上同胚于一个2-球面，如果每个环可以连续地紧到一个点。庞加莱猜想断言三维空间也是如此 {width=700px} 下图显示，图中环面上两个上色的圆均无法连续地收紧成一点。因此环面并不与球面同胚。 {width=300px} 在2002年11月和2003年7月之间，俄罗斯的数学家格里戈里·佩雷尔曼在arXiv.org发表了三篇论文预印本，并声称证明了几何化猜想。 在佩雷尔曼之后，先后有3组研究者发表论文补全佩雷尔曼给出的证明中缺少的细节。这包括密歇根大学的布鲁斯·克莱纳和约翰·洛特；哥伦比亚大学的约翰·摩根和麻省理工学院的田刚；以及理海大学的曹怀东和中山大学的朱熹平。 2006年8月，第25届国际数学家大会授予佩雷尔曼菲尔兹奖。 数学界最终确认佩雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想。 ## 三体问题 三体问题（英语：Three-body problem）是天体力学中的基本力学模型。它是指三个质量、初始位置和初始速度都是任意的可视为质点的天体，在相互之间万有引力的作用下的运动规律问题。 例如太阳系中，考虑太阳、地球和月球的运动，它们彼此以万有引力相吸引，若假设三个星球都可设为质点，并且忽略其他星球的引力，太阳、地球和月球的运动即可以视为三体问题。 下图里，初始位置在斜三角形顶点，且初始速度均为零的三个相同物体的近似轨迹。按照动量守恒定律，质心仍然存在  三体问题可以用三个质量为 $m_i$ 的相互作用的物体的矢量位置 $\mathbf{r}_{\mathbf{i}}=\left(x_i, y_i, z_i\right)$ 的牛顿运动方程数学表 示: $$ \left\{\begin{array}{l} \ddot{\mathbf{r}}_1=-G m_2 \frac{\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2}{\left|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2\right|^3}-G m_3 \frac{\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_3}{\left|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_3\right|^3}, \\ \ddot{\mathbf{r}}_2=-G m_3 \frac{\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_3}{\left|\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_3\right|^3}-G m_1 \frac{\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1}{\left|\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1\right|^3}, \\ \ddot{\mathbf{r}}_3=-G m_1 \frac{\mathbf{r}_3-\mathbf{r}_1}{\left|\mathbf{r}_3-\mathbf{r}_1\right|^3}-G m_2 \frac{\mathbf{r}_3-\mathbf{r}_2}{\left|\mathbf{r}_3-\mathbf{r}_2\right|^3} . \end{array}\right. $$ 其中 $G$ 为万有引力常数。[3][4]这是一组 9 个二阶微分方程构成的方程组。 庞加莱发现这个系统的演变经常是混沌的，即如果初始状态有一个小的扰动，例如个体的初始位置有一个小的变动，则后来的状态可能会有极大的不同。如果这一小变动不能被测量仪器所探测，那么我们将不能预测最终状态为何。 ## 庞加莱-霍普夫定理 数学上，庞加莱-霍普夫(Poincaré-Hopf)定理(也称为庞加莱-霍普夫指标定理，庞加莱-霍普夫指标公式，或霍普夫指标定理)是微分拓扑的重要 定理。 定理：令 $M$ 为紧微分流形。令 $v$ 为 $M$ 上有孤立零点的向量场。若 $M$ 有边界，则我们要求在边界上 $v$ 指向边界的外法向。然后，我们有如下公式 $$ \sum_i \operatorname{index}_v\left(x_i\right)=\chi(M) $$ 其中，求和取遍 $v$ 的孤立零点而 $\chi(M)$ 是 $M$ 的欧拉示性数。 定理由庞加莱在二维的情况证明，而后由霍普夫推广到高维。 ## 庞加莱对偶性 数学上，庞加莱对偶定理是流形的同调及上同调群的结构的基本定理，以昂利·庞加莱命名。这定理说若 $M$ 是 $n$ 维有向闭流形（即紧致且无边界）， 则 $M$ 的第 $k$ 介介上同调群同构于 $M$ 的第 $(n-k)$ 阶同调群。对所有整数 $k$ $$ H^k(M) \cong H_{n-k}(M) \text {. } $$ 庞加莱对偶定理于任何系数环都成立，只需在流形上相对于系数环而取定向。特别是由于流形于模 2 都有唯一定向，故于模 2 时庞加莱对偶定理不 需假设定向就成立。 ## 庞加莱-伯克霍夫不动点定理 庞加莱-伯克霍夫不动点定理指出闭圆环的任一个保持边界不动的保面积自同构映射（辛同构）在圆环内部至少有两个不动点，更一般的保面积的扭曲映射（两个边缘转动方向相反，提升到带形上看得更清晰）至少有两个不动点。 这个定理来自三体问题，最早由庞加莱1912年提出，他给出了不完整的证明，又称为“庞加莱最后的几何定理”；第二年，伯克赫夫第一次给出了完整的证明。 ## 庞加莱不等式 数学中，庞加莱不等式（英语：Poincaré inequality）是索伯列夫空间理论中的一个结果，由法国数学家昂利·庞加莱命名。这个不等式说明了一个函数的行为可以用这个函数的变化率的行为和它的定义域的几何性质来控制。也就是说，已知函数的变化率和定义域的情况下，可以对函数的上界作出估计。庞加莱不等式在现代的变分法理论中有重要应用。一个与之相近的结果是弗里德里希不等式（英语：Friedrichs's inequality）。 **经典形式** 设 $\mathrm{p}$ 是一个大于等于 1 的实数， $\mathrm{n}$ 是一个正整数。 $\Omega$ 是 $\mathrm{n}$ 维欧几里得空间 $\mathbb{R}^n$ 上的一个有界开子集，并且其边界是满足利普希兹条件的区域 (也就是 说它的边界是一个利普希茨连续函数的图像) 。在这种情况下，存在一个只与 $\Omega$ 和 $\mathrm{p}$ 有关的常数 $\mathbf{C}$ ，使得对索伯列夫空间 $\mathbb{W}^{1, p}(\Omega)$ 中所有的函数 u，都有: $$ \left\|u-u_{\Omega}\right\|_{L^p(\Omega)} \leq C\|\nabla u\|_{L^p(\Omega)} $$ 其中的 $\|\cdot\|_{L^p}$ 指的是 $\mathrm{L}^{\mathrm{P}}$ 空间之中的范数， $$ u_{\Omega}=\frac{1}{|\Omega|} \int_{\Omega} u(y) \mathrm{d} y $$ 是函数 $\mathbf{u}$ 在定义域 $\Omega$ 上的平均值，而 $|\Omega|$ 指的是区域 $\Omega$ 的勒贝格测度。 ## 庞加莱度量 数学中，庞加莱度量（Poincaré metric），以昂利·庞加莱命名，描述了一个常负曲率二维曲面的度量张量。它是双曲几何和黎曼曲面中广为使用的自然度量。 在二维双曲几何中有三种广泛使用的等价表述。其中一个是庞加莱半平面模型，在上半平面上定义一个双曲空间模型。庞加莱圆盘模型在单位圆盘上定义了一个双曲空间模型。圆盘与上半平面通过一个共形映射联系，等距由莫比乌斯变换给出。第三个表述是在穿孔圆盘上，通常表示为与 q-类似（Q-analog）的关系，这种形式不同于前两种。 ## 庞加莱-本迪克松定理 庞加莱-本迪克松定理说明了：如果在二维的平面上的连续动力系统的某一个解的轨道被限制在一个紧区域内，那么在时间足够长之后，这个轨道要么逼近某一个奇点，要么逼近某一个周期轨道（极限环）。因此，一维或者二维平面上的连续动力系统是不可能出现混沌现象的。混沌现象只可能出现在三维或以上维数空间上的连续动力系统中。但是要注意的是：庞加莱-本迪克松定理对离散动力系统不适用，也就是说混沌现象有可能在二维甚至一维的离散动力系统中发生（事实上的确如此）。 这个定理最早由庞加莱提出，但最初的版本比现在要弱，而且庞加莱本人并没有给出一个完整的证明。本迪克松给出了现在的定理和完整的证明。 给定一个在二维平面上的单连通开集上定义的可微实值动力系统，则任意轨道的非空紧α-极限集合（或ω-极限集合），如果不包含奇点的话，都是周期轨道。 动力系统定义在二维平面上的条件是必须的。在环面上，非周期的递归轨道是可能存在的。 ## 庞加莱-林德斯泰特方法 庞加莱－林德斯泰特方法（英语：Poincaré–Lindstedt method）是摄动理论中一种当正则摄动法失效时求解常微分方程的近似周期解的方法， 可以在弱非线性振动问题中消除正则摄动法中出现的长期项。 该方法是以数学家昂利·庞加莱与安德斯·林德斯泰特的名字命名的 **杜芬方程** 无阻尼、非强迫运动的杜芬方程为 $$ \ddot{x}+x+\varepsilon x^3=0 $$ 其中 $t>0,0<\varepsilon<1$ 。 [4] 假设初值为 $$ x(0)=1, \quad \dot{x}(0)=0 . $$ 使用摄动法，假设级数解为 $x(t)=x_0(t)+\varepsilon x_1(t)+\ldots$ 。可以得到，级数的前两项为 $$ x(t)=\cos (t)+\varepsilon\left[\frac{1}{32}(\cos (3 t)-\cos (t))-\frac{3}{8} t \sin (t)\right]+\cdots . $$ 此近似解会随着时间无限地增大，与该方程所描述的物理系统不符。而导致这一原因的是其中的长期项 $t \sin \mathrm{t}$ 随时间而不断增大。为使近似解随 时间变化仍然有效，可以采用如下的庞加莱 - 林德斯泰特方法。 此方法中，不仅近似解本身表示为渐近展开，时间地表示为级数形式 $$ \tau=\omega t, \quad \quad \quad \text { 其中 } \quad \omega=\omega_0+\varepsilon \omega_1+\cdots . $$ 由于解的角频率的领头项为 1 ，取 $\omega_0=1$ 。于是，原方程变为 $$ \omega^2 x^{\prime \prime}(\tau)+x(\tau)+\varepsilon x^3(\tau)=0 $$ 初值则不变。假设解的形式为 $x(\tau)=x_0(\tau)+\varepsilon x_1(\tau)+\ldots$ ，通过 $\varepsilon$ 的零阶与一阶项可以得到 $$ \begin{aligned} & x_0=\cos (\tau) \\ & x_1=\frac{1}{32}(\cos (3 \tau)-\cos (\tau))+\left(\omega_1-\frac{3}{8}\right) \tau \sin (\tau) . \end{aligned} $$ 取 $\omega_1=3 / 8$ 便可消除长期项。按此继续进行分析，便可得到更高阶的精度。以下为精确到 $\varepsilon$-阶精度的近似解为 $$ x(t) \approx \cos \left(\left(1+\frac{3}{8} \varepsilon\right) t\right)+\frac{1}{32} \varepsilon\left[\cos \left(3\left(1+\frac{3}{8} \varepsilon\right) t\right)-\cos \left(\left(1+\frac{3}{8} \varepsilon\right) t\right)\right] . $$ ## 庞加莱复现定理 物理学上，庞加莱复现定理[1]（英语：Poincaré recurrence theorem，又译为庞加莱回复定理或庞加莱回归定理[2][3][4]）断言，对于某类系统而言，只要经过充分长但有限的时间，一定会到达某个与初始态任意接近的状态（若该系统具连续的状态），或者一定返回初始态本身（若该系统离散）。 庞加莱复现时间是复现前经过的时长。对于不同的初始态和不同的要求接近的程度，此时间亦不同。定理仅适用于满足某些条件的孤立力学系统，例如所有粒子都必须约束在某个有限体积的范围内。定理可以放在遍历理论、动态系统，或者统计力学的背景中讨论。适用此定理的系统称为守恒系统（与耗散系统相对）。 定理得名自亨利·庞加莱，其于1890年讨论过此定理[5][6]。1919年，康斯坦丁·卡拉西奥多里利用测度论证明了此定理 ## 庞加莱圆盘模型 几何中，庞加莱圆盘模型（Poincaré disk model），也叫共形圆盘模型（conformal disk model），是一个 n-维双曲几何模型。几何中的点对应到 n 维圆盘（或球）上的点，几何中的“直线”（准确地说是测地线）对应到任意垂直于圆盘边界的圆弧或是圆盘的直径。庞加莱圆盘模型、克莱因模型以及庞加莱半空间模型，一起被贝尔特拉米用来证明双曲几何与欧几里得几何的相容性等价。 {width=300px} 庞加莱圆盘模型的大斜方截 {3,7} 镶嵌。
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