海伦公式

日期: 2023-10-12 20:36 查看: 40 次更新导出Word

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若已知三角形的边长 (上图 )，其面积可以用海伦公式计算

$$
A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},
$$

其中 $s=(a+b+c) / 2$ 。

## 推导

![图片](/uploads/2023-10/image_202310122801ce8.png){width=350px}

如图，对于任意一个三角形，有
(1) $h^2=a^2-x^2$ (2) $(c-x)^2+h^2=b^2$
将(1)带入(2)得:

$$
\begin{aligned}
& (c-x)^2+a^2-x^2=b^2 \\
& c^2-2 c x+a^2=b^2 \\
& x=\frac{c^2+a^2-b^2}{2 c} \text { 代入(1)得: }
\end{aligned}
$$

$$
h=\sqrt{a^2-\left(\frac{c^2+a^2-b^2}{2 c}\right)^2}
$$

则 $S=\frac{1}{2} c \sqrt{a^2-\left(\frac{c^2+a^2-b^2}{2 c}\right)^2}$

$$
S=\sqrt{\frac{c^2}{4}} \sqrt{a^2-\left(\frac{c^2+a^2-b^2}{2 c}\right)^2}
$$

$$
S=\sqrt{\frac{c^2 a^2}{4}-\frac{c^2}{4} \times \frac{\left(c^2+a^2-b^2\right)^2}{4 c^2}}
$$

$$
S=\sqrt{\frac{c^2 a^2}{4}-\frac{\left(c^2+a^2-b^2\right)^2}{4^2}}
$$

$S=\sqrt{\left(\frac{c a}{2}+\frac{c^2+a^2-b^2}{4}\right)\left(\frac{c a}{2}-\frac{c^2+a^2-b^2}{4}\right)}$ (平方差)

$$
\begin{aligned}
& S=\sqrt{\left(\frac{2 c a+c^2+a^2-b^2}{4}\right)\left(\frac{2 c a-\left(c^2+a^2-b^2\right)}{4}\right)} \\
& S=\sqrt{\left(\frac{(c+a)^2-b^2}{4}\right)\left(\frac{b^2-(c-a)^2}{4}\right)} \\
& S=\sqrt{\left(\frac{(c+a+b)(c+a-b)}{4}\right)\left(\frac{(b+c-a)(b-c+a)}{4}\right)}
\end{aligned}

\begin{aligned}
& S=\sqrt{\left(\frac{c+a+b}{2}\right)\left(\frac{c+a-b}{2}\right)\left(\frac{b+c-a}{2}\right)\left(\frac{b-c+a}{2}\right)} \\
& S=\sqrt{\left(\frac{a+b+c}{2}\right)\left(\frac{a+b+c}{2}-b\right)\left(\frac{a+b+c}{2}-a\right)\left(\frac{a+b+c}{2}-c\right)}
\end{aligned}

$$
**意义：**
海伦公式的提出为三角形和多边形的面积计算提供了新的方法和思路，在知道三角形三边的长而不知道高的情况下使用海伦公式可以更快更简便的求出面积，比如说在测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。

**例题：**我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式, 此公式与古希腊几何数学家海伦提出的公式如出一辙, 即三角形的三边长分别为 $a, b, c$, 记 $p=\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}}{2}$, 则 其面积 $S=\sqrt{\mathrm{p}(\mathrm{p}-\mathrm{a})(\mathrm{p}-\mathrm{b})(\mathrm{p}-\mathrm{c})}$. 这个公式也被称为海伦 - 秦九韶公式、若 $p=5, c=$ 4 , 则此三角形面积的最大值为 ( )
A. $\sqrt{5}$
B. 4
C. $2 \sqrt{5}$
D. 5

答案：C
此题可以用海伦公式求解，也可以画图，根据面积求解，显然后者更容易。
$$

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