韦达定理

日期: 2023-10-12 21:08 查看: 30 次更新导出Word

解决二次方程最常规的方法是运用求根公式。对于二次方程

$$
a x^2+b x+c=0 \quad(a \neq 0),
$$

定义判别式

$$
\Delta=b^2-4 a c,
$$

那么方程的两个根分别为

$$
\begin{aligned}
& x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2 a}, \\
& x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2 a} .
\end{aligned}
$$

可见，当
$\Delta>0 \Rightarrow$ 方程有两个不同的根
$\Delta=0 \Rightarrow$ 方程有两个相同的根
$\Delta<0 \Rightarrow$ 方程无实数根 (但有两个共轭的复数根)

## 韦达定理

由一元二次方程求根公式知: $x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}$
则有:

$$
\begin{aligned}
& x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}=-\frac{b}{a} \\
& x_1 \cdot x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4 a c}}{2 a} \times \frac{-b-\sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}=\frac{c}{a}
\end{aligned}
$$

## 几何含义

假设 $f(x)=a x^2+b x+c$ ，那么求解方程 $a x^2+b x+c=0$ 即化为寻找函数 $f(x)$ 的所有零点 $f(x)=0$ 。

![图片](/uploads/2023-10/f31146.svg) { width=700px}
图 1: $f(x)$ 示意图。从左到右为 $\Delta>0, \Delta=0, \Delta<0$ 可见， $x=-\frac{b}{2 a}$ 为函数 $f(x)$ 的对称轴，两个零点 (如果存在) 关于该轴对称。

## 配方法

对于一些特定的问题，可以将方程配方并求解，有时这比直接使用求根公式更为简便。
例如，可以将方程配方为如下形式:

$$
(x-a)(x-b)=0 \Rightarrow x_1=a, x_2=b .
$$

![图片](/uploads/2023-10/ae26f9.svg)

图 2: $f(x)=(x-a)(x-b)$ 示意图
或者

$$
(x-a)^2=b \Rightarrow x_1=\sqrt{b}+a, x_2=-\sqrt{b}+a .

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