斐波那契数列

日期: 2023-10-12 21:24 查看: 32 次更新导出Word

**引言**
故事得从西元1202年说起，话说有一位意大利青年，名叫斐波那契。在他的一部著作中提出了一个有趣的问题：假设一对刚出生的小兔一个月后就能长成大兔，再过一个月就能生下一对小兔，并且此后每个月都生一对小兔，一年内没有发生死亡，问：一对刚出生的兔子，一年内繁殖成多少对兔子?

解：我们可以推算：
①1 月 1 对
②2 月 1 对
③3 月 2 对
④4 月 3 对
⑤5 月 5 对
⑥6 月 8 对
⑦7 月 13 对 ...

如下图

![图片](/uploads/2023-10/ac6a5d.svg){width=400px}

如果把上面数字写出来就是：

$$
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233……
$$

我们发现，第一项和第二项是1，之后的每一项为之前两项的和。

## 和黄金分割的关系

开普勒发现数列前、后两项之比 $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{5}, \frac{5}{8}, \frac{8}{13}, \frac{13}{21}, \frac{21}{34}, \cdots$ ，也组成了一个数列，会趋近黄金分割:

$$
\frac{f_{n+1}}{f_n} \approx a=\frac{1}{2}(1+\sqrt{5})=\varphi \approx 1.618 \ldots
$$

斐波那契数亦可以用连分数来表示:

$$
\begin{aligned}
& \frac{1}{1}=1 \quad \frac{2}{1}=1+\frac{1}{1} \quad \frac{3}{2}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1}} \quad \frac{5}{3}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1}}} \quad \frac{8}{5}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1}}}} \\
& F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right]=\frac{\varphi^n}{\sqrt{5}}-\frac{(1-\varphi)^n}{\sqrt{5}}
\end{aligned}
$$

而黄金分割数亦可以用无限连分数表示:

$$
\varphi=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\ldots}}}}
$$

而黄金分割数也可以用无限多重根号表示:

$$
\varphi=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\ldots}}}}
$$

## 斐波那契图像

如果把斐波那契画在极坐标上，其图像如下

![图片](/uploads/2023-10/118907.jpg){width=360px}

## 意义

科学家发现，一些植物的花瓣、垩片、果实的数目以及排列的方式上，都有一个神奇的规律，它们 都非常符合著名的斐波那契数列。例如向日葵

![图片](/uploads/2023-10/91f918.jpg){width=300px}

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