不定型极限

日期: 2023-10-18 14:27 查看: 16 次更新导出Word

**分母为零**
在数学中，一般我们做初等计算时规定分数的分母不能为零，这是因为在除法运算时结果是唯一的，而分母为零时则不同，如果 $a \neq 0$ ，那么 $\frac{a}{0}=\infty$ ，在一般的实数集上没有结果（它的结果是无穷大量，是极限过程中的变量）；如果 $a=0$ ，那么 $\frac{a}{0} \in \mathbb{R}$ ，也就是说实数集上的任何一个数都有可能是它的结果，我们就把后者称为未定式。
但是，单纯从两个数的比是无法得出未定式的结果的，但在研究函数时，往往有可能从极限过程中得出类似形式的结果，这也就是下面要讨论的未定式以及洛必达法则。

## 基本不定型

以极限过程 $x \rightarrow x_0$ 为例，其它的五种亦然：定义在去心邻域 $U^{\circ}\left(x_0\right)$ 内可导函数 $f(x), g(x)$ ，如果 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=\lim _{x \rightarrow x_0} g(x)=0$ ，就称 $\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)}$ 为 $\frac{0}{0}$ 型末定式。
函数 $f(x), g(x)$ 在 $x \rightarrow x_0$ 的过程中是无穷小量，切不可只理解为 $\frac{0}{0}$ 型未定式的分子和分母为常数零 (虽然这种也算未定式)。
类似地，另外一种不定型为 $\frac{\infty}{\infty}$ 型，以极限过程 $x \rightarrow x_0$ 为例，其它的五种亦然：定义在去心邻域 $U^{\circ}\left(x_0\right)$ 内可导函数 $f(x), g(x)$ ，如果 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=\infty, \lim _{x \rightarrow x_0} g(x)=\infty$ ，就称 $\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)}$ 为 $\frac{\infty}{\infty}$ 型未定式。
同样，函数 $f(x), g(x)$ 在 $x \rightarrow x_0$ 的过程中是无穷大量，分子和分母的无穷大量的符号可正可负。由于无穷大量的倒数是无穷小量，所以 $\frac{\infty}{\infty}$ 型可化为 $\frac{0}{0}$ 型。

## 其它不定型

除了上述两种基本不定型外，还有其它常见的不定型，它们都可以转化为基本不定型，以下是例子（以极限过程 $x \to x_0$ 为例，其它的五种亦然）。
![图片](/uploads/2023-10/image_20231018133ea37.png)

## L' Hospital 法则 。

将不定式极限都处理成 $\frac{0}{0}$ 型之后，可以使用 L' Hospital 法则来求解极限。
并不是所有的不定时极限都有解，但有时未定式有解但这个法则却不适用，所以这个法则有时会失效。

## Stolz 定理

对于数列的未定式，可以使用 Heine 定理归结为函数极限问题，也可以使用 Stolz 定理，这个定理相当于数列极限的 L' Hospital 法则。
$\frac{*}{\infty}$ 型的 Stolz 定理是，若数列 $\left\{a_n\right\}$ 是严格单调递增的无穷大量，且

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{b_{n+1}-b_n}{a_{n+1}-a_n}=l \in \overline{\mathbb{R}} .
$$

则

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{b_n}{a_n}=l

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