直线与圆的弦长

日期: 2023-11-04 07:15 查看: 25 次更新导出Word

当直线与圆相交时，直线与圆相交所得弦长可以通过如下公式计算：
弦长公式: $A B=2 \sqrt{r^2-d^2}$
其中， $r$ 是圆的半径， $d$ 是圆心 $O$ 到直线 $l$ 的距离，上式利用勾股定理很容易得出。

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## 例题

**例1**： 若直线 $x+y-1=0$ 与圆 $x^2+y^2=1$ 交于两点 $A, B$ ，求线段 $A B$ 的长度.
解： 圆 $x^2+y^2=1$ 的圆心为 $(0,0)$ ，半径为 $r=1$ ，

圆心为 $(0,0)$ 到直线的距离 $d=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ ，

则 $A B=2 \sqrt{r^2-d^2}=2 \sqrt{1-\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$.

**例2** ： 设 $O$ 为原点，直线 $y=k x+2$ 与圆 $x^2+y^2=4$ 相交于 $A, B$ 两点，当 $\triangle A B O$ 面积最大值时， $k=(\quad)$
A. $\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$
B. \pm 1
C. $\pm \sqrt{2}$
D. $\pm 2$

解析 直线 $l$ 方程 $y=k x+2$ ，原点 $O$ 到 $l$ 的距离为 $d=\frac{2}{\sqrt{1+k^2}}$ ，
弦长 $|A B|=2 \sqrt{4-\frac{4}{1+k^2}}=\frac{4|k|}{\sqrt{1+k^2}}$,
$\triangle A B O$ 面积 $S=\frac{1}{2}|A B||O C|=\frac{1}{2} \times \frac{2}{\sqrt{1+k^2}} \times \frac{4|k|}{\sqrt{1+k^2}}=\frac{4|k|}{1+k^2} ，$
由对称性可知，
$k>0$ 时，三角形的面积 $S=\frac{4 k}{1+k^2}=\frac{4}{\frac{1}{k}+k} \leq \frac{4}{2 \sqrt{\frac{1}{k} \cdot k}}=2$ ，当且仅当 $k=1$ 时取等号.
所以 $k= \pm 1$.
故选: $B$.

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