点到直接的距离公式

日期: 2023-11-04 07:32 查看: 24 次更新导出Word

**点到直接的距离公式**

如下图，求点P到直线l的距离。

![图片](/uploads/2023-11/image_20231104c672263.png)

其公式为

$$
d=\frac{\left|A x_0+B y_0+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}} \text {. }
$$

## 证明

下面我们来求 $P\left(x_0, y_0\right)$ 到直线 $l: A x+B y+C=0$ 的距离 $d$. 设 $P_1\left(x_1, y_1\right)$ 是直线 $l$ 上的点, 且 $P P_1 \perp l$, 因此所要求的就是

$$
d=\sqrt{\left(x_1-x_0\right)^2+\left(y_1-y_0\right)^2} .
$$

注意到 $\overrightarrow{P P_1}=\left(x_1-x_0, y_1-y_0\right)$, 而且 $\boldsymbol{v}=(A, B)$ 是直线 $l$ 的一个法向量, 因此 $\overrightarrow{P P_1}$ 与 $v$ 共线, 从而 $A\left(y_1-y_0\right)=B\left(x_1-x_0\right)$, 整理得

$$
B\left(x_1-x_0\right)-A\left(y_1-y_0\right)=0 .
$$

又因为 $P_1\left(x_1, y_1\right)$ 是直线 $l$ 上的点, 所以

$$
A x_1+B y_1+C=0 .
$$

如果联立(4)和(5)求出 $x_1, y_1$, 再代人 (3)中求 $d$, 将是非常烦琐的（请读者自行尝试). 注意到为了求出(3), 我们只需求出 $x_1-x_0$ 与 $y_1-y_0$ 的平方和即可, 而(4)中正好有这两个式子, 但(5)中没有. 为此, 在(5)的左右两边同时减去 $A x_0, B y_0$, 并整理, 得

$$
A\left(x_1-x_0\right)+B\left(y_1-y_0\right)=-\left(A x_0+B y_0+C\right) .
$$

将(4)与(6)两边平方后相加可得

$$
\left(A^2+B^2\right)\left[\left(x_1-x_0\right)^2+\left(y_1-y_0\right)^2\right]=\left(A x_0+B y_0+C\right)^2,
$$

因此 $\left(x_1-x_0\right)^2+\left(y_1-y_0\right)^2=\frac{\left(A x_0+B y_0+C\right)^2}{A^2+B^2}$, 从而

$$
d=\frac{\left|A x_0+B y_0+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}} \text {. }

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