离心率

日期: 2023-11-14 08:47 查看: 33 次更新导出Word

## 椭圆离心率的定义

椭圆离心率的定义为：椭圆的焦距和长轴长的比，即 $ e=\frac{c}{a}$

![](../uploads/2022-10/38fe86.svg)

因 $a>c>0$ 所以， $0<e<1$ ，且 $e$ 越接近1，则 $c$ 越接近 $a$ ，此时椭圆就越扁。 反之， $e$ 越接近 0 ，从而 $b$ 就越接近于 $a$ ，此时椭圆就越接近于圆。

当且仅当 $a=b$ 时，此时 $c=0$ ，椭圆就变成了圆。

参考上图，可以得到离心率的另外一个变形：
$e=\frac{c}{a}=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} $

## 如何理解椭圆离心率

看到“率”，就表示除法，例如速率 $v=s/t$ 表示速度的大小，斜率 $k=y/x$  表示直线倾斜的程度，离心率$e=c/a$表示椭圆“扁”的程度，$e$越大椭圆越扁。$e$越小椭圆越圆。
极端的，如果 $e=0$，那么椭圆就变成了圆。

例题：求经过点 $M(1,2)$, 且与椭圆 $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{6}=1$ 有相同离心率的椭圆的标准方程.

解：设 $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{6}=k$ ，带入 $M(1,2)$ 的 $a=\frac{3}{4}$  即： $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{6}=\frac{3}{4}$ ，
化简为：
$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4.5}=1$

在本题里，关键是设置新椭圆的方程是： $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{6}=k$

这是因为如上所述，离心率本质上反映椭圆的“扁圆”程度，如果两个椭圆的离心率相等，则意味着这两个椭圆的骨架是“相似”的，如下图：所以，可以直接设置  $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{6}=k$
![图片](/uploads/2023-11/image_202311130b7ae27.png)

## 缩放与平移不改变椭圆的离心率

(1) 等比例缩放不改变椭圆离心率。

离心率的定义为 $e=c/a$ ，只要 $c,a$ 等比例缩放，离心率不变。

(2) 平移不改变椭圆离心率。
在初中，我们知道 $y=kx$ 是斜线， $y=kx+c$ 仍是斜线但是向上或向下移动了c个单位。
同样，$y=x^2$ 是抛物线，而 $y=x^2+c$ 也是抛物线，但是向上或向下移动了c个单位，事实上， $y=x^2+bx+c$ 仍然是抛物线，你使得我们得到一个结论， 那就是一个图像的形状由最高次幂决定，而其他的次幂只是让图像上下左右移动，并不改变图形的“骨架”。

举一个简单的例子，$x^2+y^2=1$ 表示中心在原点半径为1的圆。而  $x^2-2x+y^2=0$ (增加了$2x$项)， 可以化为  $(x-1)^2+y^2=1$ 他表示中心在(1,0) 半径为1的圆，可以发现增加$2x$ 项，让圆向右移动了，但是其他性质没变。 如果写成 $x^2+y^2=2$ 椭圆中心不变，但是半径放大。

## 椭圆离心率为什么用c/a 而不是 b/a

在双曲线中b是虚轴，不能直接看出来。但是c/a在椭圆和双曲线都能直观地看出来。

另外还要考虑到[椭圆的第二定义](http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?kid=709)，就是曲线上的点到焦点距离和到准线的距离比刚好等于c/a

圆，椭圆，抛物线和双曲线都被称为圆锥曲线，古希腊刷学家发现，使用一个平面切割圆锥体，可以得到这四种图像。

![](/uploads/2022-10/345_202210030932.png)

在后面课程可以看到，当离心率$e=1$ 他是抛物线，$e>1$是双曲线，$0<e<1$是椭圆，$e=0$ 是圆

由此，使用离心率$e$ 就可以完成整个圆锥曲线的定义。

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