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高中数学（高考专区）
等式与不等式
均值不等式
均值不等式
日期:
2023-11-04 12:18
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给定两个正数 $a, b$, 数 $\frac{a+b}{2}$ 称为 $a, b$ 的算术平均值; 数 $\sqrt{a b}$ 称为 $a, b$的几何平均值 一般地, 我们有如下结论. 均值不等式 如果 $a, b$ 都是正数, 那么 $$ \frac{a+b}{2} \geqslant \sqrt{a b}, $$ 当且仅当 $a=b$ 时, 等号成立. **证明** 因为 $a, b$ 都是正数, 所以 $$ \frac{a+b}{2}-\sqrt{a b}=\frac{a+b-2 \sqrt{a b}}{2}=\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{2} \geqslant 0, $$ 即 $\frac{a+b}{2} \geqslant \sqrt{a b}$. 而且, 等号成立时, 当且仅当 $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2=0$, 即 $a=b$. 值得注意的是, 均值不等式中的 $a, b$ 可以是任意正实数, ## 均值不等式推广 多个正数的算术平均值和几何平均值可以类似地定义. 例如, $a, b, c$ 的算术平均值为 $\frac{a+b+c}{3}$, 几何平均值为 $\sqrt[3]{a b c}$
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