最值、平均数、中位数与百分位数

日期: 2023-11-05 18:36 查看: 12 次更新导出Word

**最值**
一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反映的是这组数最
极端的情况．一般地，最大值用ｍａｘ表示，最小值用ｍｉｎ表示． 日常生活中，有时我们只关心数据的最值．比如，高考部分科目实行 “一年多考”，最终取的是多次考试成绩中的最大值；举重比赛中，选手有三
次 “试举”机会，其中成绩的最大值将计入总成绩；末位淘汰的比赛中，积
分最小值对应的团体或个人将被淘汰出局；等等

**平均数**
日常生活中, 我们经常使用平均数来刻画一组数据的平均水平（或中心位置). 例如, 为了减少测量的误差, 一般取多次测量值的平均数作为最终的测量值; 在有多个评委的比赛中, 一般也以各评委给出分数的平均数作为最后的成绩; 等等.
如果给定的一组数是 $x_1, x_2, \cdots, x_n$, 则这组数的平均数为

$$
\bar{x}=\frac{1}{n}\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right) .
$$

这一公式在数学中常简记为

$$
\bar{x}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i,
$$

其中的符号 “ $\sum$ ” 表示求和, 读作 “西格玛”, $\sum$ 右边式子中的 $i$ 表示求和的范围, 其最小值与最大值分别写在 $\sum$ 的下面与上面. 例如,

$$
\sum_{i=1}^3 x_i=x_1+x_2+x_3, \sum_{i=5}^7 x_i=x_5+x_6+x_7 .
$$

不难看出, 求和符号 $\sum$ 具有以下性质:
(1) $\sum_{i=1}^n\left(x_i+y_i\right)=\sum_{i=1}^n x_i+\sum_{i=1}^n y_i$;
(2) $\sum_{i=1}^n\left(k x_i\right)=k \sum_{i=1}^n x_i$;
(3) $\sum_{i=1}^n t=n t$.

一般地, 利用平均数的计算公式可知, 如果 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 的平均数为 $\bar{x}$, 且 $a, b$ 为常数, 则

$$
a x_1+b, a x_2+b, \cdots, a x_n+b
$$

的平均数为 $a \bar{x}+b$, 这是因为

$$
\begin{aligned}
\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(a x_i+b\right) & =\frac{1}{n}\left[\sum_{i=1}^n\left(a x_i\right)+\sum_{i=1}^n b\right]=\frac{1}{n}\left(a \sum_{i=1}^n x_i+n b\right) \\
& =a\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i\right)+b=a \bar{x}+b .
\end{aligned}
$$

**中位数**

一般地, 有时也可以借助中位数来表示一组数的中心位置: 如果一组数有奇数个数, 且按照从小到大排列后为 $x_1, x_2, \cdots, x_{2 n+1}$, 则称 $x_{n+1}$ 为这组数的中位数; 如果一组数有偶数个数, 且按照从小到大排列后为 $x_1$, $x_2, \cdots, x_{2 n}$, 则称 $\frac{x_n+x_{n+1}}{2}$ 为这组数的中位数.

**百分位数**

设一组数按照从小到大排列后为 $x_1, x_2, \cdots, x_n$, 计算 $i=n p \%$ 的值, 如果 $i$ 不是整数, 设 $i_0$ 为大于 $i$ 的最小整数, 取 $x_{i_0}$ 为 $p \%$ 分位数; 如果 $i$ 是整数, 取

$$
\frac{x_i+x_{i+1}}{2}
$$

为 $p \%$ 分位数. 特别地, 规定： 0 分位数是 $x_1$ (即最小值), $100 \%$ 分位数是 $x_n$ (即最大值).

实际应用中, 除了中位数外, 经常使用的是 $25 \%$ 分位数（简称为第一四分位数) 与 $75 \%$ 分位数 (简称为第三四分位数).

**例 1**  如下图：有甲乙两组，每组20人，暑期对数的数量分别如下，请

![图片](/uploads/2023-11/image_202311056e5ad27.png)

甲数的 $75 \%$ 分位数.

解 因为数据个数为 20 , 而且

$$
20 \times 75 \%=15,
$$

所以, 甲组数的 $75 \%$ 分位数为

$$
\frac{x_{15}+x_{16}}{2}=\frac{9+10}{2}=9.5 ;
$$

**众数**
一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的频数，出现次数最多的数据称为这组数据的众数．有些情形中，我们用众数来描述一组数据的中心位置．

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