同余

日期: 2023-11-09 18:37 查看: 8 次更新导出Word

**同余的概念**

观察下面的月历：
![图片](/uploads/2023-11/image_20231109d91bb41.png)
在月历表中位于同一列的整数被 7 除后的余数是相同的, 如 $1,8,15,22,29$ 被 7 除后, 余数都是 1 . 在其他的月历中也有同样的规律.
我们把这些被 7 除后余数相同的整数称作是模 7 同余的.
一般地, 设 $n$ 为正整数, $a$ 和 $b$ 为整数. 如果 $a$ 和 $b$ 被 $n$ 除后余数相同, 那么称 $a$ 和 $b$模 $n$ 同余, 记作 $a \equiv b(\bmod n)$. 若 $a$ 和 $b$ 被 $n$ 除后余数不同, 则称 $a$ 和 $b$ 模 $n$ 不同余, 记作 $a \neq \equiv(\bmod n)$.

例如, 12 与 -6 被 9 除后余数均为 3 , 所以 $12 \equiv$ $-6(\bmod 9)$, 而 -15 与 21 被 7 除后余数分别为 6 和 0 ,所以 $-15 \not \neq 21(\bmod 7)$.

由同余的概念, 我们容易知道, 同余与整除存在密切的关系.
设 $a, b$ 被 $n$ 除后的商分别为 $q, q^{\prime}$, 余数分别为 $r$, $r^{\prime}$, 则

$$
a=n q+r, \quad b=n q^{\prime}+r^{\prime} .
$$

若 $a \equiv b(\bmod n)$, 则 $r=r^{\prime}$, 并且 $a-b=n\left(q-q^{\prime}\right)$, 于是 $n \mid a-b$. 反过来, 若 $n \mid a$ $-b=n\left(q-q^{\prime}\right)+r-r^{\prime}$, 则 $n \mid r-r^{\prime}$, 而 $-n<r-r^{\prime}<n$, 故 $r-r^{\prime}=0$, 从而 $r=r^{\prime}$, 因此 $a \equiv b(\bmod n)$.
因此, 我们有

$$
a \equiv b(\bmod n) \Leftrightarrow n \mid a-b .
$$

根据 $a \equiv b(\bmod n) \Leftrightarrow n \mid a-b$, 探索同余满足下面同余的三条性质:
(1) $a \equiv a(\bmod n)$;
（2）若 $a \equiv b(\bmod n)$, 则 $b \equiv a(\bmod n)$;
（3）若 $a \equiv b(\bmod n)$, 且 $b \equiv c(\bmod n)$, 则 $a \equiv c(\bmod n)$.

由上可知, 模 $n$ 同余给出了整数之间的一种关系, 这种关系我们称之为同余关系. 利用同余关系, 我们可以对整数集进行分类: 将整数集中所有模 $n$ 同余的整数放在一起构成一个集合. 例如, 利用模 2 同余可将整数集分成两个集合:
（1）模 2 同余于 0 的整数构成偶数集;
（2）模 2 同余于 1 的整数构成奇数集;

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