平面点集

日期: 2023-11-18 09:46 查看: 14 次更新导出Word

1. **邻域**

定义 设 $z_0$ 为复平面上的一点, $\delta>0$,
(1) 称点集 $\left\{z:\left|z-z_0\right|<\delta\right\}$ 为 $z_0$ 点的 $\delta$ 邻域;
(2) 称点集 $\left\{z: 0<\left|z-z_0\right|<\delta\right\}$ 为 $z_0$ 点的 $\delta$ 去心邻域。

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**2. 内点、外点与边界点‸**
   考虑某平面点集 $\boldsymbol{G}$ 以及某一点 $\boldsymbol{z}_0$,

内点 (1) $z_0 \in G$; (2) $\exists \delta>0, \forall z:\left|z-z_0\right|<\delta$, 有 $z \in G$.
外点 (1) $z_0 \notin G ;$ (2) $\exists \delta>0, \forall z:\left|z-z_0\right|<\delta$, 有 $z \notin G$.
边界点 (1) $z_0$ 不一定属于 $G$;
(2) $\forall \delta>0$, 在 $\left|z-z_0\right|<\delta$ 中,
既有 $\boldsymbol{z} \in \boldsymbol{G}$, 又有 $\boldsymbol{z} \notin \boldsymbol{G}$.

边界 $\boldsymbol{G}$ 的边界点的全体称为 $\boldsymbol{G}$ 的边界。

![图片](/uploads/2023-11/image_2023111884e0f04.png)

**3. 开集与闭集**
开集 如果 $\boldsymbol{G}$ 的每个点都是它的内点，则称 $\boldsymbol{G}$ 为开集。闭集 如果 $\boldsymbol{G}$ 的边界点全部都属于 $\boldsymbol{G}$, 则称 $\boldsymbol{G}$ 为闭集。

**4. 有界集与无界集**
定义 若存在 $\delta>0$, 使得点集 $\boldsymbol{G}$ 包含在原点的 $\delta$ 邻域内,则 $\boldsymbol{G}$ 称为有界集, 否则称为非有界集或无界集。

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