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复变函数论 Complex Analysis
第二篇 复数的集合论
平面曲线的复数表示
平面曲线的复数表示
日期:
2023-11-18 09:57
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**平面曲线** 1. 方程式 - 在直角平面上 $f(x, y)=0$. (比较熟悉) - 在复平面上 $f(z)=0$. (比较陌生) - 如何相互转换? (1) $f(x, y)=0 \underset{y=(z-\bar{z}) /(2 i)}{\stackrel{x=(z+\bar{z}) / 2}{\longrightarrow}} \widetilde{f}(z)=0 . \quad($ (建立方程) (2) $f(z)=0 \stackrel{z=x+i y}{\longrightarrow} \tilde{f}(x, y)=0$. (理解方程) 例 (1) $|\boldsymbol{z}-\boldsymbol{i}|=\mathbf{2}, \Rightarrow x^2+(y-1)^2=4$.  (2) $|z+i|=|z-i|, \Rightarrow y=0$ 。  (3) $|z-2 i|=|z+2|, \Rightarrow y=-x$.  (4) $|\boldsymbol{z}+\mathbf{1}|+|\boldsymbol{z}-\mathbf{1}|=\mathbf{4}, \Rightarrow \frac{x^2}{2^2}+\frac{y^2}{(\sqrt{3})^2}=1$.  (5) $\operatorname{Re}\left(z^2\right)=1, \Rightarrow x^2-y^2=1$. 
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