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复变函数论 Complex Analysis
第四篇 解析函数
导数与微分
导数与微分
日期:
2023-11-18 10:17
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1. 复变函数的导数 定义 设函数 $w=f(z)$ 在 $z_0$ 点的某邻域内有定义, $z_0+\Delta z$ 是 $z_0$ 的邻域内的任意一点, $\Delta w=f\left(z_0+\Delta z\right)-f\left(z_0\right)$, 如果 $$ \lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{\Delta w}{\Delta z}=\lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{f\left(z_0+\Delta z\right)-f\left(z_0\right)}{\Delta z} $$ 存在有限的极限值 $\boldsymbol{A}$, 则称 $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{z})$ 在 $\boldsymbol{z}_0$ 处可导, 且称 $\boldsymbol{A}$为 $f(z)$ 在 $z_0$ 处的导数, 记作 $f^{\prime}\left(z_0\right)$. - 如果函数 $f(z)$ 在区域 $D$ 内的每一点都可导, 则称 $f(z)$在 $D$ 内可导, 此时即得 $f(z)$ 的导(函) 数 $f^{\prime}(z)$. 2. 复变函数的微分 定义 设函数 $w=f(z)$ 在 $z$ 点的某邻域内有定义, $z+\Delta z$ 是 $z$ $$ \Delta w=f(z+\Delta z)-f(z)=A \Delta z+o(|\Delta z|), $$ 则称 $f(z)$ 在 $z$ 处可微, $A \Delta z$ 为微分, 记作 $\mathrm{d} w=A \Delta z$.特别地, 有 $\mathbf{d} z=\Delta z$. (考虑函数 $w=f(z)=z$ 即可) $$ \Rightarrow \mathrm{d} w=A \mathrm{~d} z \text {. } $$ - 若 $f(z)$ 在区域 $D$ 内处处可微, 则称 $f(z)$ 在 $D$ 内可微。 ○导数反映的是 “变化率”；而微分更能体现 “逼近” 的思想。
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