点解析与奇点

日期: 2023-11-18 10:22 查看: 8 次更新导出Word

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**性质**
(1) 在区域 $D$ 内解析的两个函数 $f(z)$ 与 $g(z)$ 的和、差、积、商 (除去分母为零的点) 在 $\boldsymbol{D}$ 内解析。
(2) 如果函数 $\xi=g(z)$ 在 $z$ 平面上的区域 $\mathrm{D}$ 内解析,函数 $\boldsymbol{w}=\boldsymbol{f}(\xi)$ 在 $\xi$ 平面上的区域 $G$ 内解析,且对 $D$ 内的每一点 $z$, 函数 $g(z)$ 的值都属于 $G$,则复合函数 $w=f[g(\xi)]$ 在 $D$ 内解析。

例 求函数 $f(z)=\frac{z+3}{4 z^2-1}$ 的解析区域及在该区域上的导数。解 设 $P(z)=z+3, Q(z)=4 z^2-1$, 由函数 $z^n$ 的解析性以及求导法则可知:
当 $Q(z) \neq 0$ 时, $f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}$ 解析,又方程 $Q(z)=4 z^2-1=0$ 的根是 $z= \pm \frac{1}{2}$,
因此在全平面除去点 $z= \pm \frac{1}{2}$ 的区域内, $f(z)$ 解析。

$$
f^{\prime}(z)=\frac{P^{\prime}(z) Q(z)-P(z) Q^{\prime}(z)}{[Q(z)]^2}=\frac{4 z^2-1-8 z(z+3)}{\left(4 z^2-1\right)^2} .
$$

例 讨论函数 $w=f(z)=|z|^2$ 的解析性。
解 由 $w=f(z)=|z|^2=z \bar{z},\left(=x^2+y^2\right)$ 有

$$
\begin{aligned}
\lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{\Delta w}{\Delta z} & =\lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{(z+\Delta z)(\bar{z}+\overline{\Delta z})-z \bar{z}}{\Delta z} \\
& =\lim _{\Delta z \rightarrow 0}\left(\bar{z}+z \frac{\overline{\Delta z}}{\Delta z}+\overline{\Delta z}\right) .
\end{aligned}
$$

当 $z=0$ 时, $\lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{\Delta w}{\Delta z}=0$, 即 $f^{\prime}(0)=0$;
当 $z \neq 0$ 时, $\lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{\Delta w}{\Delta z}$ 不存在。
因此, $w=f(z)=|z|^2$ 仅在 $z=0$ 点可导, 处处不解析。

例 讨论函数 $w=f(z)=x+i 2 y$ 的解析性。
解

$$
\begin{aligned}
\lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{\Delta w}{\Delta z} & =\lim _{\substack{\Delta x \rightarrow 0 \\
\Delta y \rightarrow 0}} \frac{(x+\Delta x)+i 2(y+\Delta y)-(x+i 2 y)}{\Delta x+i \Delta y} \\
& =\lim _{\substack{\Delta x \rightarrow 0 \\
\Delta y \rightarrow 0}} \frac{\Delta x+i 2 \Delta y}{\Delta x+i \Delta y}
\end{aligned}
$$

当 $\Delta x=0, \Delta y \rightarrow 0$ 时, $\lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{\Delta w}{\Delta z}=2$,
当 $\Delta y=0, \Delta x \rightarrow 0$ 时, $\lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{\Delta w}{\Delta z}=1$,
因此, $w=f(z)=x+i 2 y$ 处处不可导，处处不解析。
问题 对函数 $f(z)=u(x, y)+i v(x, y)$, 如何判别其解析性?

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