调和函数

日期: 2023-11-18 10:33 查看: 12 次更新导出Word

引例 考察三维空间中某无旋无源力场 (或流速场) 的势函数。设该力场为 $\vec{F}=\{P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)\}$.
(1) 无旋场 沿闭路做功为零 (即做功与路径无关)。又称为保守场或者梯度场或者有势场。存在势函数 $\varphi(x, y, z)$, 使得

$$
P=\frac{\partial \varphi}{\partial x}, \quad Q=\frac{\partial \varphi}{\partial y}, \quad R=\frac{\partial \varphi}{\partial z} .
$$

即 $\vec{F}=\{P, Q, R\}=\left\{\frac{\partial \varphi}{\partial x}, \frac{\partial \varphi}{\partial y}, \frac{\partial \varphi}{\partial z}\right\}$.

考察三维空间中某无旋无源力场 (或流速场) 的势函数。设该力场为 $\vec{F}=\{P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)\}$.
(1) 无旋场 $\vec{F}=\{P, Q, R\}=\left\{\frac{\partial \varphi}{\partial x}, \frac{\partial \varphi}{\partial y}, \frac{\partial \varphi}{\partial z}\right\}$.
(2) 无源场 散度为零, 即 $\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=0$.

- 无旋无源力场的势函数 $\varphi$ 满足 $\frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \varphi}{\partial z^2}=0$.

特别地, 对于平面力场 $\frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2}=0$.

**定义**
若二元实函数 $\varphi(x, y)$ 在区域 $D$ 内有连续二阶偏导数,且满足拉普拉斯 (Laplace) 方程:

$$
\frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2}=0,
$$

则称 $\varphi(x, y)$ 为区域 $D$ 内的调和函数。

注 泊松(Poission)方程

$$
\frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2}=f(x, y) . \quad
$$

**定理**
若函数 $f(z)=u(x, y)+i v(x, y)$ 在区域 $D$ 内解析,则 $u(x, y), v(u, y)$ 在区域 $D$ 内都是调和函数。

证明 由 $f(z)=u(x, y)+i v(x, y)$ 解析, 有

$$
\left.\begin{array}{ll}
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}, & \underset{\text { (?) }}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x}, \\
\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}, & \Rightarrow \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=-\frac{\partial^2 v}{\partial x \partial y},
\end{array}\right\} \Rightarrow \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0
$$

同理 $\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 v}{\partial y^2}=0$.

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