指数函数（复数）

日期: 2023-11-18 10:42 查看: 10 次更新导出Word

复变函数中的初等函数是实数域中初等函数的推广，它们的定义方式尽可能保持一致。特别是当自变量取实值时，两者是一样的。

定义 对于复数 $z=x+i y$, 称 $w=\mathrm{e}^x(\cos y+i \sin y)$ 为指数函数,记为 $w=\exp z$ 或 $w=\mathrm{e}^z$.

注 (1) 指数函数是初等函数中最重要的函数, 其余的初等函数都通过指数函数来定义。
(2) 借助欧拉公式, 指数函数可以这样来记忆:

$$
w=\mathrm{e}^z=\mathrm{e}^{x+i y}=\mathrm{e}^x \cdot \mathrm{e}^{i y}=\mathrm{e}^x(\cos y+i \sin y) .
$$

(3) 但事实上, 从定义本身来看, $\mathrm{e}^z$ 应理解为仅仅是一种记号或者规定, 仅仅作为代替 $\exp z$ 的符号使用。

定义 对于复数 $z=x+i y$, 称 $w=\mathrm{e}^x(\cos y+i \sin y)$ 为指数函数,记为 $w=\exp z$ 或 $w=\mathbf{e}^z$.

注 (1) 指数函数是初等函数中最重要的函数, 其余的初等函数都通过指数函数来定义。
(2) 借助欧拉公式, 指数函数可以这样来记忆:

$$
w=\mathrm{e}^z=\mathrm{e}^{x+i y}=\mathrm{e}^x \cdot \mathrm{e}^{i y}=\mathrm{e}^x(\cos y+i \sin y) .
$$

(3) 但事实上, 从定义本身来看, $\mathrm{e}^z$ 应理解为仅仅是一种记号或者规定，仅仅作为代替 $\exp z$ 的符号使用。

性质 (1) $\mathrm{e}^z$ 是单值函数。
事实上, 对于给定的复数 $z=x+i y$,定义中的 $\mathrm{e}^x, \cos y, \sin y$ 均为单值函数。
(2) $\mathbf{e}^z$ 除无穷远点外, 处处有定义。
事实上, 在无穷远点有

$$
\begin{aligned}
& \text { 当 } y=0, x \rightarrow+\infty \text { 时, } \mathrm{e}^z \rightarrow+\infty \\
& \text { 当 } y=0, x \rightarrow-\infty \text { 时, } \mathrm{e}^z \rightarrow 0 .
\end{aligned}
$$

(3) $\mathrm{e}^z \neq 0$. 因为 $\mathrm{e}^x>0, \cos y+i \sin y \neq 0$.
(4) $\mathbf{e}^z$ 在复平面上处处解析, 且 $\left(\mathbf{e}^z\right)^{\prime}=\mathbf{e}^z$.

性质 (5) $\forall z_1=x_1+i y_1, z_2=x_2+i y_2$, 有 $\mathbf{e}^{z_1} \cdot \mathbf{e}^{z_2}=\mathbf{e}^{z_1+z_2}$.
事实上，

$$
\begin{aligned}
\mathrm{e}^{z_1} \cdot \mathrm{e}^{z_2}= & \mathrm{e}^{x_1}\left(\cos y_1+i \sin y_1\right) \cdot \mathrm{e}^{x_2}\left(\cos y_2+i \sin y_2\right) \\
= & \mathrm{e}^{x_1+x_2}\left[\left(\cos y_1 \cos y_2-\sin y_1 \sin y_2\right)+\right. \\
& \left.\quad i\left(\sin y_1 \cos 2+\cos y_1 \sin y_2\right)\right] \\
= & \mathrm{e}^{x_1+x_2}\left[\cos \left(y_1+y_2\right)+i \sin \left(y_1+y_2\right)\right]=\mathrm{e}^{z_1+z_2} .
\end{aligned}
$$

(6) $\mathrm{e}^z$ 是以 $2 k \pi i$ 为周期的周期函数。
事实上, 由 $\mathrm{e}^{2 k \pi i}=\cos 2 k \pi+i \sin 2 k \pi=1$, 有

$$
\mathbf{e}^{z+2 k \pi i}=\mathbf{e}^z \cdot \mathbf{e}^{2 k \pi i}=\mathbf{e}^z .
$$

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