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复变函数论 Complex Analysis
第四篇 解析函数
幂函数（复数）
幂函数（复数）
日期:
2023-11-18 10:48
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**幂函数** 定义 函数 $w=z^\alpha$ 规定为 $z^\alpha=\mathrm{e}^{\alpha \operatorname{Ln} z}(\alpha$ 为复常数, $z \neq 0$ ) 称为复变量 $z$ 的幂函数。 还规定：当 $\alpha$ 为正实数，且 $z=0$ 时, $z^\alpha=0$. 注意 上面利用指数函数以一种 “规定” 的方式定义了幂函数,但不要将这种 “规定” 方式反过来作用于指数函数即 $\mathbf{e}^z=\mathbf{e}^{\mathbf{L n} \mathbf{e}^z}=\mathbf{e}^{z \operatorname{Ln} \mathbf{e}}$. 是错误的 讨论 (1) 当 $\alpha$ 为正整数时, $z^n=\mathrm{e}^{n \operatorname{Ln} z}=\mathrm{e}^{n \ln z}$. (单值)此时, $z^\alpha$ 处处解析, 且 $\left(z^\alpha\right)^{\prime}=\alpha z^{\alpha-1}$. (2) 当 $\alpha$ 为负整数时, $z^{-n}=\frac{1}{z^n}$. (单值)此时, $z^\alpha$ 除原点外处处解析, 且 $\left(z^\alpha\right)^{\prime}=\alpha z^{\alpha-1}$. (3) 当 $\alpha=0$ 时, $z^0=1$. 讨论 (4) 当 $\alpha$ 为有理数时, $z^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{z^m}$. ( $n$ 值)其中, $m$ 与 $n$ 为互质的整数, 且 $n \geq 1$.此时, $z^\alpha$ 除原点与负实轴外处处解析,且 $\left(z^\alpha\right)^{\prime}=\alpha z^{\alpha-1}$. (5) 当 $\alpha$ 为无理数或复数 $(\operatorname{Im} \alpha)$ 肘 ,一般为无穷多值。此时, $z^\alpha$ 除原点与负实轴外处处解析。 
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