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复变函数论 Complex Analysis
第十篇 拉普拉斯变换
周期函数的像函数
周期函数的像函数
日期:
2023-11-18 14:43
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性质 设 $f(t)$ 是 $[0,+\infty)$ 内以 $T$ 为周期的函数, 且逐段光滑,则 $\mathscr{L}[f(t)]=\frac{1}{1-\mathbf{e}^{-s T}} \int_0^T f(t) \mathbf{e}^{-s t} \mathbf{d} t$. 证明 $\mathscr{L}[f(t)]=\int_0^T f(t) \mathrm{e}^{-s t} \mathrm{~d} t+\int_T^{+\infty} f(t) \mathrm{e}^{-s t} \mathrm{~d} t \stackrel{\text { 记为 }}{=} I_1+I_2$, 其中, $I_2 \stackrel{\text { 令 } x=t-T}{=} \int_0^{+\infty} f(x+T) \mathrm{e}^{-s(x+T)} \mathrm{d} x$ $$ =\mathrm{e}^{-s T} \int_0^{+\infty} f(x) \mathrm{e}^{-s x} \mathrm{~d} x=\mathrm{e}^{-s T} \mathscr{L}[f(t)] $$ 即得 $\mathscr{L}[f(t)]=\frac{1}{1-\mathrm{e}^{-S T}} \int_0^T f(t) \mathrm{e}^{-s t} \mathrm{~d} t$. 
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