集合的关系

日期: 2023-10-01 18:21 查看: 59 次更新导出Word

## 属于关系

一个元素 $a$ 如果在集合 $S$ 中，记作 $a \in S$ ，如果不在集合 $S$ 中记作 $a \notin S$ 或 $a \bar{\in} S$.
包含关系 8
对两个集合 $S$ 和 $T$ ，如果 $\forall x \in S, x \in T$ ，我们就说集合 $S$ 含于 $T$ ，或 $T$ 包含 $S$ ，记作 $S \subseteq T$ 或 $T \supseteq S$ ，同时 我们称 $S$ 是 $T$ 的子集（subset）；如果 $S \subseteq T, T \subseteq S$ ，我们就说这两个集合相等，记作 $S=T$ ，反之称作不相 等，记作 $S \neq T$ ，相等的集合具有相同的元素。
如果 $S \subseteq T$ 但 $S \neq T$ ，我们说 $T$ 真包含 $S$ ，记作 $S \subset T, T \supset S$ ，或 $S \varsubsetneqq T, T \supsetneqq S$ ，同时我们称 $S$ 是 $T$ 的真 子集 (proper subset)。
如果一个集合中没有任何元素，就是该集合是一个空集（empty set），记作 $\varnothing, \emptyset$. 空集是任何集合的子集，是任何非 空集合的真子集。

**幂关系**
由集合 $S$ 的所有子集 (含空集) 所构成的集合，叫作 $S$ 的幂集 (power set)，记作 $2^S$ ，如 $S=\{0,1,2\}$ 的幂集是
$ 2^S=\{\varnothing,\{0\},\{1\},\{2\},\{0,1\},\{0,2\},\{1,2\},\{0,1,2\}\} $

一个元素个数 $n$ 有限的集合，它的幕集的元素也是有限的，且为 $2^n$ 个。无限集合的幕集元素个数也是无限。

**集合的运算**
以下设选定一个全集 $\Omega$ ，且考虑的所有元素都属于这个全集。

1. 并集: $A \cup B=\{x \in \Omega \mid x \in A$, or $x \in B\}$;
2. 交集: $A \cap B=\{x \in \Omega \mid x \in A$, and $x \in B\}$;
3. 差集: $A \backslash B=A-B=\{x \in \Omega \mid x \in A$, and $x \notin B\}$;
4. 补集 (余集) : $\complement_{\Omega} A=\Omega-A=\{x \mid x \in \Omega$, and $x \notin A\}$;
5. 对称差: $A \Delta B=(A-B) \cup(B-A)=(A \cup B)-(A \cap B)$.
   作差集运算时不必要求 $B$ 含于 $A$.
   运算律 $\theta$
6. 幕等律: $A \cap A=A \cup A=A$;
7. 交换律: $A \cap B=B \cap A, A \cup B=B \cup A$;
8. 结合律: $(A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C),(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C)$;
9. 分配律: $A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C), A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C)$;
10. 吸收律: $A \cap(A \cup B)=A \cup(A \cap B)=A$;
11. 模律: 若 $A \subseteq B$ ，则 $A \cup(B \cap C)=(A \cup C) \cap B$;
12. 得摩根律: $\overline{A \cup B}=\bar{A} \cap \bar{B}, \quad \overline{A \cap B}=\bar{A} \cup \bar{B}$;
13. 双余性: $\overline{(\bar{A})}=A$.
   不难将它们推广到有限个集合的运算场合去。在格论中，满足上面这些性质的格在同构的意义下只有集合满足。

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