充分条件与必要条件

日期: 2023-10-10 08:11 查看: 75 次更新导出Word

在逻辑学中使用充分必要条件表示命题的逻辑关系。

## ①充分条件

有 $A$ 就一定有 $B$ ，则 $A$ 是 $B$ 的充分条件(A=>B)；
充分条件类似日常生活中的“**如果...就..**.”

**例1**
A: $x=y$,
B: $x^2=y^2$
如果$x=y$ ，则必有 $x^2=y^2$。

**例2**
A:下雨。
B:地湿。
如果下雨，那么地湿。 那么就说下雨是地湿的充分条件。

## ②必要条件

无 $A$ 就一定无 $B$ ，则 $A$ 是 $B$ 的必要条件 （B=>A）；
必要条件类似日常生活中的“**只有...才..**.”

**例3**
A:$x^2=y^2$
B:$x=y$

只有 $x^2=y^2$，才可能会有 $x=y$ ， 或者说，如果   $x^2  \ne y^2$，一定不会有 $x \ne y$

所以 $x^2=y^2$ 是  $x=y$ 的必要条件。（$x$为负数，$y$为正数时，不能推出$x=y$）

**例4：**
A:下雨
B:地湿。
如果不下雨，地面一定不会湿。这个说法显然是错误的，因为泼水也可以让地湿。 所以由B推导不出A，我们就说说地湿不是下雨的必要条件。

## ③充要条件

有 $A$ 就一定有 $B$ ，无 $A$ 就一定无 $B$ ，则 $A$ 是 $B$ 的充要条件。换句话说，
由 $A$可以推出$B$，同时，由$B$也可以推出$A$。

**例如5**
A: $x=y$,
B: $x^3=y^3$

如果$x=y$ 则必有 $x^3=y^3$， 同样，如果 $x^3=y^3$ 则必有 $x=y$，此时称A是B的充分必要条件。

**例如6**

$P: x=1$

$ Q: x^2=1$

$P$ 是 $Q$ 的充分条件而不是必要条件 (没有 $x=1$, 当 $x=-1, x^{\wedge} 2=1$ )
$Q$ 是 $P$ 的必要条件,没有 $x^2=1$, 就一定没有 $x=1$

## ④既不充分又不必要条件

由A不可以推出B，由B不可以推出A，就称呼A是B的既非充分又分必要条件。

## 记忆技巧

由A可以推导B，就是充分条件。
由B可以推导A，就是必要条件。

**例1** ：设 $x \in \mathbf{R}$ ，则“ $|x-2|<1$ "是“ $3^x<27$ ”的（）.
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
答案 $\mathrm{A}$
解析

$$
\begin{aligned}
& \because|x-2|<1, \\
& \therefore-1<x-2<1, \\
& \therefore 1<x<3, \\
& \because 3^x<27, \\
& \therefore x<3, \\
& \because\{x \mid 1<x<3\} \text { 是 }\{x \mid x<3\} \text { 的真子集, } \\
& \therefore|x-2|<1 \text { " 是“ } 3^x<27^{\prime \prime} \text { 的充分不必要条件. }
\end{aligned}
$$

故选A.

**例2** ：“ $x<1$ ”是 $3^x<1$ ”的（）.
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
答案 B.
解析 由 $3^x<1=3^0$ ，解得 $x<0$ ，
$\therefore x<1$ "是 “ $3^x<1$ "的必要不充分条件，
故选: B.

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