抛物面

日期: 2022-12-30 18:55 查看: 39 次目录

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由方程 $\frac{x^2}{2 a}+\frac{y^2}{2 b}=z(a b>0)$ 所确定的曲面称为椭圆抛物面.
由方程的表达式可知，椭圆抛物面关于 $x O z$ 面， $y O z$ 面及 $z$ 轴都对称，当 $a>0, b>0$ 时 $z \geq 0$ ，所以它在 $x O y$ 面的上方. 当 $a<0, b<0$ 时 $z \leq 0$ ，所以它在 $x O y$ 面的下方. 此外原点 $O$ 的坐标满足方程，原点叫做椭圆抛物面的顶点.
我们用截痕法来讨论椭圆抛物面的形状:

(1) 用平行于 $x O y$ 的平面 $z=h(h>0)$ 去截椭圆抛物面，交线为

$$
\left\{\begin{array}{c}
\frac{x^2}{2 a h}+\frac{y^2}{2 b h}=1, \\
z=h,
\end{array}\right.
$$

它是平面上的一个椭圆，当逐渐由小变大时，椭圆也逐渐由小变大. 这些椭 圆就形成了椭圆抛物面.
(2) 椭圆抛物面与 $y O z$ 面及 $z O x$ 面的交线分别为

$$
\left\{\begin{array} { c } 
{ y ^ { 2 } = 2 b z , } \\
{ x = 0 , }
\end{array} \text { 及 } \left\{\begin{array}{c}
x^2=2 a z, \\
y=0,
\end{array}\right.\right.
$$

它们分别是 $y O z$ 面及 $z O x$ 面上的抛物线.

(3) 用平行于坐标面 $x O z(y=0)$ 的平面 $y=k$ 截曲面为一抛物线

$$
\left\{\begin{array}{c}
x^2=2 a\left(z-\frac{k^2}{2 b}\right), \\
y=k,
\end{array}\right.
$$

同样用平行于坐标面 $y O z(x=0)$ 的平 面 $x=d$ 截曲面仍为一抛物线.
根据上述截痕， 就可得到椭圆抛物面的 图形 (图 5-63).
![图片](/uploads/2022-12/image_20221230faa8a6a.png)

由方程 $\frac{x^2}{2 a}-\frac{y^2}{2 b}=z(a b>0)$ 所确定的曲面称为双曲抛物面（马鞍面）.
我们同样可以用截痕法来讨论双曲抛物面的形状，图形如图 5-64 所示.

![图片](/uploads/2022-12/image_20221230396094f.png)
**双曲面**
由方程 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1 ， \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1,-\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ 确定的曲面称为单 叶双曲面.
由方程 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1 ， \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=-1 ，-\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=-1$ 所确定的曲面 称为双叶双曲面.
我们也可以通过截痕法获得它们的图像.

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