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高等数学
第二章 一元函数微分学及其应用
割线与切线
日期:
2023-10-01 11:28
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割线与切线
在中学数学中， 圆的切线可以定义为“与圆只有一个交点的直线” （见图2-4）  但对于一般曲线， 这样定义是不合适的。例如，直线 $x=1$ 与抛物线 $y=x^2$ 只有一个交点（见图2-5）， 但显然不是实际意义下的切线.  下面我们用极限的思想给出一般曲线的切线的定义. 设曲线 $C: y=f(x) ， x \in I$ ，在曲线 $C$ 上取点 $M\left(x_0, y_0\right)$ 及点 $N(x, y)$ ， 连接 $M N$ ，则 $M N$ 为过点 $M$ 的割线，割线的倾角为 $\varphi$ (见图2-6). 则割线 $M N$ 的斜率为 $$ \tan \varphi=\frac{y-y_0}{x-x_0}=\frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0} $$  当 $N \rightarrow M$ ，即 $x \rightarrow x_0$ 时，如果割线趋于一极限位置，我们就把此极限 位置上的直线 $M T$ 称为曲线在 $M$ 点处的切线. 此刻切线的斜率即为 $k=\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{y-y_0}{x-x_0}=\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$ 从上面的例子可以看出， 在求切线斜率的过程中， 需要用到极限 $$ \lim _{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0} $$ 
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