幂级数及其收敛性

日期: 2023-01-01 18:54 查看: 30 次目录

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取 $u_0(x)=a_0 ， u_n(x)=a_n\left(x-x_0\right)^n ， n=1,2, \cdots$ ，其中 $a_n(n=0,1,2, \cdots)$ 为常数.
则 $\sum_{n=0}^{\infty} u_n(x)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty} a_n\left(x-x_0\right)^n$ 也可记成 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n\left(x-x_0\right)^n$ ， 即

$$
\sum_{n=0}^{\infty} a_n\left(x-x_0\right)^n=a_0+a_1\left(x-x_0\right)+a_2\left(x-x_0\right)^2+\cdots+a_n\left(x-x_0\right)^n+\cdots
$$

称为关于 $x-x_0$ 的帛级数. 令 $t=x-x_0$ ，并将 $t$ 仍记为 $x$ ，则有 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ ， 因此不失一 般性，我们仅讨论这个形式的幂级数.
显然，当 $x=0$ 时，幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 收玫于 $a_0$. 当 $a_n=1(n=0,1,2, \cdots)$ 时，则 有 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n=\sum_{n=0}^{\infty} x^n$ ，这是几何级数. 令 $x=\frac{1}{2}$ ，则幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} x^n$ 转化为常数项级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n}$ ，由等比级数的性质知，该级数收敛，且和为 $2 ＼mathrm{~ ； 令 ~} x=2$ ，则幂级数转 化为 $\sum_{n=0}^{\infty} 2^n$. 显然该级数发散. 一般地，当 $|x|<1$ 时收敛，且和为 $\frac{1}{1-x}$ ，当 $|x| \geq 1$ 时，级数发散.
一般地，对于幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ ，当给 $x$ 以确定的值，例如 $x=x_0$ ，则幂级数称为 一个常数项级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x_0^n$. 若这个常数项级数收玫，则称 $x_0$ 为函数项级数的收敛 点；若这个常数项级数发散，则称 $x_0$ 为函数项级数的发散点; 幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的 收玫点的全体称为收玫域. 对于收玫域上的任一点 $x$ ，幂级数都称为一个收玫的 常数项级数，因而有一个确定的和. 因此收敛域上幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的和是 $x$ 的函数 记作 $s(x)$ ，即 $s(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$.
称 $s(x)$ 为幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的和函数，和函数的定义域就是幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的收玫域.
例如，幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} x^n$ 当 $|x|<1$ 时收敛，当 $|x| \geq 1$ 时发散，因此它的收敛域是区间 $(-1,1)$ ，这是一个以点 $x=0$ 为中心的区间. 它的和函数是 $\frac{1}{1-x}$ ，其中 $-1<x<1$. 也写作

$$
1+x+x^2+\cdots+x^n+\cdots=\frac{1}{1-x}, \quad-1<x<1 .
$$

对于一般的幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ ，显然点 $x=0$ 时它的一个收敛点， 因为在该点处
幂级数只含有一项 $a_0$ ，其余各项都是 0 ，故在点 $x=0$ 处，幂级数的和 $S$ 等于 $a_0$.
' 除了 $x=0$ 点以外，还有哪些点是收敛点呢? 我们有下面的定理.

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