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线性代数
第一篇 方阵的行列式
行列式按行展开
日期:
2023-10-01 11:28
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行列式按行展开
设行列式 $$ |\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right| $$ 则有 $|\boldsymbol{A}|=a_{i 1} A_{i 1}+a_{i 2} A_{i 2}+\cdots+a_{i n} A_{i n}=\sum_{k=1}^n a_{i k} A_{i k} \quad(i=1,2, \cdots, n)$ 和 $|\boldsymbol{A}|=a_{1 j} A_{1 j}+a_{2 j} A_{2 j}+\cdots+a_{n j} A_{n j}=\sum_{k=1}^n a_{k j} A_{i j} \quad(j=1,2, \cdots, n)$ 分别称为 $|\boldsymbol{A}|$ 按第 $i$ 行展开的展开式及按第 $j$ 列展开的展开式. 证明 我们只证明等式 $|A|=a_1 A_{11}+a_{i 2} A_{i 2}+\cdots+a_{i n} A_{i n}=\sum_{k=1}^n a_{i k} A_{i k}(i=1,2, \cdots, n)$, 由结论 $\left|A^{\mathrm{T}}\right|=|A|$ 即可得到另一个等式. (1) 先考虑一个特殊情况. 设 $$ |\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right| $$ 则有 $$ |\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|=a_{11}\left|\begin{array}{ccc} a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|=a_{11} M_{11} $$ 而 $\boldsymbol{A}_{11}=(-1)^{1+1} M_{11}=M_{11}, \quad$ 于是 $\quad|\boldsymbol{A}|=a_{11} A_{11}$. (2) 再考虑如下形式的行列式 $$ |\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{ccccc} a_{11} & \cdots & a_{1 j} & \cdots & a_{1 n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{i-1,1} & \cdots & a_{i-1, j} & \cdots & a_{i-1, n} \\ 0 & \cdots & a_{i j} & \cdots & 0 \\ a_{i+1,1} & \cdots & a_{i+1, j} & \cdots & a_{i+1, n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & \cdots & a_{n j} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right| . $$ 将行列式 $|A|$ 的第 $i$ 行依次与第 $i-1$ 行，第 $i-2$ 行， ..，第 2 行，第 1 行交换，使第 $i$ 行换到第 1 行， 这样共交换了 $i-1$ 次. 再将所得行列式的第 $j$ 列依次与第 $j-1$ 列，第 $j-2$ 列， $\cdots$ ，第 2 列，第 1 列交换， 使第 $j$ 列换到第1列，这样共换了 $j-1$ 次. 因此 $$ |\boldsymbol{A}|=(-1)^{i-1}(-1)^{j-1}\left|\begin{array}{ccccccc} a_{i j} & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ a_{1 j} & a_{11} & \cdots & a_{1, j-1} & a_{1, j+1} & \cdots & a_{1 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i-1, j} & a_{i-1,1} & \cdots & a_{i-1, j-1} & a_{i-1, j+1} & \cdots & a_{i-1, n} \\ a_{i+1, j} & a_{i+1,1} & \cdots & a_{i+1, j-1} & a_{i+1, j+1} & \cdots & a_{i+1, n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n j} & a_{n 1} & \cdots & a_{n, j-1} & a_{n, j+1} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|=(-1)^{i-1}(-1)^{j-1} a_{i j} M_{i j}=(-1)^{i+j} a_{i j} M_{i j}=a_{i j} A_{i j} \cdot $$ （3）对任意的 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ ，它的第 $i$ 行 $\left(a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}\right)$ 可以写成 $$ \left(a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}\right)=\left(a_{i 1}+0+\cdots+0,0+a_{i 2}+0+\cdots+0, \cdots, 0+\cdots+0+a_{i n}\right), $$ 于是由行列式的拆分 (性质 4) 可知 $$ |\boldsymbol{A}|=\left|\boldsymbol{D}_{i \mid}\right|+\left|\boldsymbol{D}_i\right|+\cdots+\left|\boldsymbol{D}_{i n}\right|, $$ 其中 $\left|\boldsymbol{D}_{i j}\right|(j=1,2, \cdots, n)$ 是第 $i$ 行中只有 $(i, j)$ 元素 $a_{i j} \neq 0$ ，而其余位置上的元素均为零的行列式. 因此 $$ |\boldsymbol{A}|=a_{i 1} A_{i 1}+a_{i 2} A_{i 2}+\cdots+a_{i n} A_{i n}=\sum_{k=1}^n a_{i k} A_{i k} \quad(i=1,2, \cdots, n) . $$  若将所给行列式直接按第三行展开，则有  从上面的计算可以看出，行列式中某一行 (列) 的元素 “0" 越多，按这一行 (列) 展开就越方便. 如果 "0" 较少， 还可以先利用行列式的性质，将行列式的某行 (列) 除一个元素外全变为 “ 0 "，再按这一行 (列) 展开. 
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