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线性代数
第三篇 向量空间与线性方程组解
线性方程组有解的判定定理
日期:
2023-11-07 09:16
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线性方程组有解的判定定理
## 二维平面方程组的解 **方程消元法的几何意义** 对于方程组: $$ \left\{\begin{array}{l} a_1 x_1+b_1 x_2=c_1 \\ a_2 x_1+b_2 x_2=c_2 \end{array}\right. $$ 从高中解析几何的知识我们知道, $a_1 x_1+b_1 x_2=c_1$ (定义为 $L_1$ ) $a_2 x_1+b_2 x_2=c_2$ (定义为 $L_2$ ) 各表示一根直线, 方程组的解是这两根直线的交点, 这是方程组有解的几何意义。 向量 $\left(a_1, b_1\right)$ (定义为 $\boldsymbol{\alpha}$ ) 和 $\left(a_2, b_2\right)$ (定义为 $\boldsymbol{\beta}$ ) 分别是 $L_1$ 和 $L_2$ 的法向量 (法向量与其对应的直线垂直, 其实法向量也是方程组系数矩阵的行向量)。在法向量的帮助下, 我们讨论消元过程的一个例子: 对方程组 $\left\{\begin{array}{ll}-x_1+x_2=4 & \left(L_1\right) \\ 2 x_1+2 x_2=3 & \left(L_2\right)\end{array}\right.$ 进行消元法求解, 过程详见表 6-1。 消元法的本质是利用下面三个变形 (1)互换两个方程的位置; (2) 把一个的两边同乘以一个非零的常数 $c$; (3) 把一个方程加上另一个方程的 $k$ 倍。 求解。    **方程消元法的行列式意义** 同样, 对方程组 $\left\{\begin{array}{ll}-x_1+x_2=4 & \left(L_1\right) \\ 2 x_1+2 x_2=3 & \left(L_2\right)\end{array}\right.$ 进行消元法求解时, 我们从列向量的角度考察消元过程, 重写方程组为向量方程: $\left(\begin{array}{l}-1 \\ 2\end{array}\right) x_1+\left(\begin{array}{l}1 \\ 2\end{array}\right) x_2=\left(\begin{array}{l}4 \\ 3\end{array}\right)$, 为方便, 定义向量 $\boldsymbol{a}=\left(\begin{array}{l}-1 \\ 2\end{array}\right), \boldsymbol{b}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2\end{array}\right), \boldsymbol{c}=\left(\begin{array}{l}4 \\ 3\end{array}\right)$,变换过程详见表 6-2。   ## 三维空间方程组的解 同二元线性方程组的情况类似, 如果 $a_1 、 a_2 、 a_3$ 不全为零, 一个三元线性方程 $a_1 x_1+a_2 x_2+a_3 x_3=b$的全部解 $\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 可以构成为空间 $\mathbf{R}^3$ 中的一个平面。 下面是2个3元一次方程，从立体几何中，我们知道，他们分别表示的是两个平面，方程解的关系由平面的位置决定： 如果两平面重合或者相交就有无数解，如果两平面平行，则无解。 $$ \left\{\begin{array}{l} a_{11} x_1+a_{12} x_2+a_{13} x_3=b_1\left(\Pi_1\right) \\ a_{21} x_1+a_{22} x_2+a_{23} x_3=b_2\left(\Pi_2\right) \end{array}\right. $$  上图中，定义上面系数矩阵为 $$ \boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{array}\right), $$ 定义上面增广矩阵 $$ \overline{\boldsymbol{A}}=\left(\begin{array}{llll} a_{11} & a_{12} & a_{13} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & b_2 \end{array}\right), $$ $\Pi_1$ 的法向量是 $$ \boldsymbol{a}_1=\left(a_{11}, a_{12}, a_{13}\right) \text {, } $$ $\Pi_2$ 的法向量是 $$ \boldsymbol{a}_2=\left(a_{21}, a_{22}, a_{23}\right) $$ ## 三个3元方程 对于3个三线性方程 $$ \left\{\begin{array}{l} a_{11} x_1+a_{12} x_2+a_{13} x_3=b_1\left(\Pi_1\right) \\ a_{21} x_1+a_{22} x_2+a_{23} x_3=b_2\left(\Pi_2\right) \\ a_{31} x_1+a_{32} x_2+a_{33} x_3=b_3\left(\Pi_3\right) \end{array}\right. $$ 每个方程都表示一个平面，所以，他表示的是空间的三个平面的关系，容易知道，空间中，三个平面共有8种情况，如下图  根据线性方程组的秩及其解的不同情况, 我们可以这样总结并定义线性方程组的分类:设矩阵方程 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 是秩为 $r$ 的 $m \times n$ 矩阵, 增广矩阵 $\overline{\boldsymbol{A}}=[\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}]$ 的秩为 $r_c$ 。在这里, 我们要记住 $m 、 n 、 r 、 r_c$ 代表的含义才能迅速理解下面的说明。 $m 、 n 、 r 、 r_c$代表的含义如下: $m$ : 表示原方程组中方程的个数或者系数矩阵 $A$ 的行数，化简后 $m$ 一般会变小。 $n$ :表示原方程组中变元 $x_i$ 的个数或者系数矩阵 $A$ 的列数，化简后 $n$ 一般也会变小。 $r:$ 表示化简后变元 $x_i$ 的个数，化简后 $r$ 可能会变小，即 $r \leqslant n$ 。 $r_c$ : 表示化简后方程的个数，化简后 $r_c$ 可能会变小，即 $r \leqslant m_{\circ}$ 当 $r=r_c=n$ 方程组有解 当 $r=r_c<n$ 方程组有无数解 当 $ r<r_c $ 方程组误解。 ## 增广矩阵的意义 如图 6-2 所示, $\operatorname{Span}\left\{\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_n\right\}$ 表示为一个超平面子空间 $H$ (所谓超平面, 是指图中所画的平面泛指一个子空间, 表示二维或三维或更高维的子空间), 方程组有解表示向量 $\boldsymbol{b}$ 在超平面子空间 $H$ 内 (见图 6-2 (a)); 如果无解，向量 $\boldsymbol{b}$ 在超平面子空间 $H$ 外 (见图 6-2 (b))。  增广矩阵的秩等于矩阵的秩, 说明向量 $\boldsymbol{b}$ 在矩阵的空间内, 所以可以被变换到, 就是有解, 有一个解了。那些高于矩阵秩的维数的向量都可以被矩阵变换到自身的空间中去——降维变换一一同样可以变成向量 $\boldsymbol{b}$, 就是说方程组有无穷多解。 上面高斯消元法, 方程组的消元法体现在矩阵的操作上就是化增广矩阵为阶梯形矩阵 (即矩阵三角化)。矩阵增广的意思就是要把所有的向量和变换矩阵的列向量放在一起同时进行基坐标系的更换, 这样就可以保证所有的向量是参照同一个基的坐标值, 从而保证解的等价性。 ## 定理 1  (1) 线性方程组 $A x=\beta$ 无解的充分必要条件是 $R(A)<R(\tilde{A})$; (2) 线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{\beta}$ 有解的充分必要条件是 $R(\boldsymbol{A})=R(\tilde{\boldsymbol{A}})$ 且当 $R(\boldsymbol{A})=R(\tilde{\boldsymbol{A}})=n$ 时有唯一解，当 $R(\boldsymbol{A})=R(\tilde{\boldsymbol{A}})=r<n$ 时有无穷多解. 证明 对增广矩阵 $A$ 实施初等行变换，化为行最简形矩阵 $\tilde{R}$ ，为叙述方便，不妨设 $\tilde{R}$ 为: $$ \tilde{\boldsymbol{R}}=\left(\begin{array}{cccccccc} 1 & 0 & \cdots & 0 & a_{1, r+1}^{\prime} & \cdots & a_{1 n}^{\prime} & d_1 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & a_{2, r+1}^{\prime} & \cdots & a_{2 n}^{\prime} & d_2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & a_{r, r+1}^{\prime} & \cdots & a_{r n}^{\prime} & d_r \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & d_{r+1} \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{array}\right), $$ 于是，R的前n列就是系数矩阵的行最简形。 线性方程组 $A x=\beta$ 无解的充分必要条件是 $\tilde{R}$ 的首元出现在 $\tilde{R}$ 的最后一列，即 $d_{r+1} \neq 0$ ， 此时 $R(\boldsymbol{A})=r$ ，而 $R(\tilde{\boldsymbol{A}})=r+1$. 而线性方程组 $A \boldsymbol{x}=\beta$ 一定有解的充分必要条件是 $\tilde{R}$ 的首元不出现在 $\tilde{R}$ 的最后一列， 即 $d_{r+1}=0$ ，此时 $R(\boldsymbol{A})=R(\tilde{\boldsymbol{A}})$. 且当 $R(\boldsymbol{A})=R(\tilde{\boldsymbol{A}})=n$ 时， $\tilde{\boldsymbol{R}}$ 的首元的个数等于末知量的个数， 从而线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}$ 有唯一解；当 $R(\boldsymbol{A})=R(\tilde{\boldsymbol{A}})=r<n$ 时，首元的个数小于末知量的个数， 线性方程组 $A x=\beta$ 有无穷多解. 定理 3 （1）线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 只有零解的充分必要条件是 $R(\boldsymbol{A})=n$ ； (2) 线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 有非零解的充分必要条件是 $R(\boldsymbol{A})=r<n$.  
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