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线性代数
第五篇 线性空间与线性变换
线性空间的基、维数与坐标
日期:
2023-10-01 11:28
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线性空间的基、维数与坐标
定义 1 在线性空间 $V$ 中，如果存在 $n$ 个元素 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 满足 (i) $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性无关； (ii) $v$ 中任一元素 $\alpha$ 总可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 线性表示， 那么， $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 就称为线性空间 $V$ 的一个基， $n$ 称为线性空间 $V$ 的维数，记作 $\operatorname{dim} V=n$ 。 只含一个零元素的线性空间称为零空间，零空间没有基，规定它的维数为 $0 . n$ 维线性空间 $V$ 也记作 $V_n$. 对于 $n$ 维线性空间 $V_n$ ，如果已知 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 是 $V_n$ 的一个基，则 $V_n$ 是由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 所生成的线 性空间，即 $$ V_n=\left\{\boldsymbol{\alpha}=x_1 \boldsymbol{\alpha}_1+x_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+x_n \boldsymbol{\alpha}_n \mid x_1, x_2, \cdots, x_n \in \square\right\}, $$ 这就较清楚地显示出线性空间 $V_n$ 的构造.
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