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惯性定理

## 二次型的规范形
我们知道，同一个二次项的标准型未必相同，这与所做的非退化线下替换有关，但是，同一个二次型的不同标准型有其共性，即标准型中所含系数不为零的平分数的个数是相同的，且正(负)平方项的个数是相同的。而且不论通过那种方法将二次型化为标准型后，都可以进一步化简称平方项系数只有1,-1,0的标准型，即二次项的规范形。

## 惯性定理定义
**定理1**
设有二次型 $f(x)=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} A \boldsymbol{x}$ ，它的秩为 $r$ ，有两个可逆变换
$x=C y$ 及 $x=P z$ 使
$f=k_1 y_1^2+k_2 y_2^2+\cdots+k_r y_r^2 \quad\left(k_i \neq 0\right),$ 及 $f=\lambda_1 z_1^2+\lambda_2 z_2^2+\cdots+\lambda_r z_r^2 \quad\left(k_i \neq 0\right),$ 则 $k_1, \cdots, k_r$ 中正数的个数与 $\lambda_1, \cdots, \lambda_r$ 中正数的个数相等.
这个定理称为惯性定理，这里不予证明.

标准形中非零系数个数、正系数个数、负系数个数都是不变的, 此即西尔维斯特(Sylvester)惯性定理:

## 惯性定理的几何及物理意义

任何一个实二次型都可以经过一个线性变换化为标准形。惯性定理是说, 标准形的正系数的个数与负系数的个数与标准形的坐标基选择无关, 二次型对满秩线性替换是不变量。正因为它们是不变量, 所以我们叫这个定理为惯性定理, 其中正系数个数称为正惯性指数 (可记为 $P$ ),负系数个数称为负惯性指数 (可记为 $N$ )。正惯性指数加上负惯性指数等于秩, 即 $P+N=r$ 。
### 惯性定理的几何意义 
惯性定理反映到几何上, 就是经过可逆的合同变换把二次曲线/面方程化成标准方程。**方程的系数与所作的线性变换有关; 而曲线的类型 (是椭圆型、双曲线型等) 是不会因为所作的线性变换的不同而改变的。**

这种更通俗的解释，比如平面解析几何里，$x^2+y^2=1$表示的是圆，通过坐标变换、挤压、拉伸、扭转，这个圆可以变成圆，椭圆甚至直线，但是他绝不可能变成双曲线。
曲线的类型在几何图形上就像是图形的轮廓, 这些不同的轮廓与基的选择无关。例如, 一个马鞍面无论选择的基是什么, 都是一个马鞍面, 尽管马鞍面可以变大变小, 变陡峭或平坦, 亦可横着、坚着、斜着、倒着等。马鞍面的这些改变取决于基向量的不同取法。
二次型图形的对称性是显然的, 从标准形的代数式 $f=k_1 y_1^2+k_2 y_2^2+\cdots+k_r y_r^2$ 可以看出,对于任一个坐标轴 $y_i, k_i y_i^2$ 的图形是关于坐标零点左右对称的, 这些平方项叠加起来仍然关于每个坐标轴对称。这些对称性图形可以通过观察后续的二次型的图形来体会。
上面几何意义的解释是比较常见的说法, 其实质是假定存在一个绝对的世界坐标系作为背景, 它是永远都是刻度不变的标准正交坐标系, 所变的是二次型的几何图形。

其实更好的解释和正交变换的坐标系旋转/镜像的几何解释类似: 二次型的几何图形不变,变的是坐标系: 原来的标准正交系变成了刻度和坐标轴夹角都不同的仿射坐标系。想象二次型所表示的几何图形是一个物理实体, 各种合同变换所变换的是坐标系。因为坐标系的变化向量之坐标和度量矩阵一起变, 因而二次型的函数表达式也相应地改变了一一每一个坐标系下对应着一个函数表达式; 然而仍要记住这个物理实体是不变的。这个说法看起来像二次型的物理意义的解释。

惯性定理又叫主轴定理, 因为二次型的图形在化成标准形体现出了最完美的对称性, 每一个基向量所在的直线都成为二次齐次函数图形的对称轴，我们称这些对称轴为二次型的主轴。

惯性定理或主轴定理的命名由来更像是直接来自于力学中的惯性张量矩阵二次型。惯性矩二次型是描述刚体绕定点转动的总惯量。转动物体的转动惯量和直线运动物体的质量一样都是描述惯性大小的标量, 因此具有不变性。惯性矩二次型经过正交变换得到了由三个主轴转动惯量所组成的对角阵。

**惯性定理在相对论中的应用**
正如前面所讲, 二次型惯性定理的更本质一些的几何意义是二次型图形本身可以看做不变的物理实体, 二次型在选择不同的基/坐标轴时并不能改变这个物理实体, 只是这个物理实体的数学描述式 $f=k_1 y_1^2+k_2 y_2^2+\cdots+k_r y_r^2$ 在随着不同的基而改变而已 (呵呵, 数学是不是有点唯心)。这个数学描述式再改变也是描述的同一个物理实体啊, 因此, 在线性映射下, 一个球体再怎么投影也就变成个小球、大球或椭圆球面, 不会变成马鞍面那样的波澜起伏的丘陵加山壑。

二次型的这个不变的 “惯性” 被闵可夫斯基成功地运用于描述㹨义相对论的四维时空线性空间 (被称为闵可夫斯基空间) 里的度规不变量, 这个二次型在不同的惯性系 (坐标系间保持静止或匀速直线运动) 变换下是不变量。

闵可夫斯基空间的二次型不变的来源是因为假设光速不变。假设三维空间坐标零点发出一个光脉冲, 光线向四面八方随着时间 $t$ 的延长而扩散开来, 最外面的光波阵面是一个迅速扩张的球面, 这个球面的半径等于光速和时间的积 $c t$, 因此这个球面方程为
两边平方得到

$$
\sqrt{x^2+y^2+z^2}=c t
$$

$$
x^2+y^2+z^2=c^2 t^2
$$

那么我们把这个关系式定义为一个二次型

$$
f(x, y, z, t)=x^2+y^2+z^2-c^2 t^2=0
$$

在洛仑兹变换 (坐标变换) 下, 坐标系从 $\{o, x, y, z, t\}$ 变换为 $\left\{o, x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}, t^{\prime}\right\}$, 这个二次型 $f$ 的值仍然等于 0 , 也就是总有

$$
f(x, y, z, t)=x^2+y^2+z^2-c^2 t^2=x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}-c^2 t^{\prime 2}=f\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}, t^{\prime}\right)
$$

## 标准的二次方程在直角坐标系下的图像
如果坐标系是一个直角坐标系，相信大家都知道标准方程的图像。
下图显示了2个二次项在直角坐标系下的图像。正定型请参考下一节教程。
下面这个图形他是正定型，显示的是一个椭圆
 ![01.gif](/uploads/2024-09/a6ec19.gif){width=500px}
 
 下面这个图形是一个不定二次型，他显示的是一个鞍马面。
 ![02.gif](/uploads/2024-09/85a607.gif){width=500px}
 
 ## 标准的二次方程在一般坐标系下的图像
如果非退化的线性替换选取的不是一个直角坐标系，这时候如何知道一个标准二次方程得图像呢?

对于一个实二次型来说，总是可以找到一个直角坐标系使得方程变为一个标准方程的。因为一个实对称矩阵总是可以被正交对角化，这就是所谓的二次型的正交替换法 哪怕不是直角坐标系，这个坐标系中的标准方程也是简单的。
![03.gif](/uploads/2024-09/1ece27.gif){width=500px}

## 从几何角度理解惯性定理

二次型的惯性定理归功于Sylvester，起源于力学。可以表述为：有限的实二次型的规范形是唯一的。也就是说，不论选取怎样的坐标变换使它化为仅含平方项的标准形，其正、负惯性指数与所选取的坐标变换无关。注：二次型的标准形不是唯一的，它与所选的坐标变换有关，惯性定理告诉我们二次型的正负惯性指数是唯一不变的，它反映了二次型的本质特征。

例如，我们取了平面上一个中心在原点的一个椭圆 $6 x^2-6 s y+6 y^c-1=0$ 经过适当的线性替换,这个椭圆一定可以化为 $3 u^2+9 v^2=1$ 的形式
 ![05.gif](/uploads/2024-09/b78b33.gif){width=500px}
 
 从而这个椭圆的规范形为 $z^2+w^2=1$ 。
注意二次型的标准形不是唯一的，它与所选的坐标变换有关。由之前介绍的标准二次方程在一般坐标系下的图像可知，不论选取哪一个 $u o v$ 坐标系变为了标准形，粗圆的方程一定为

$$
a u^2+b v^2=1
$$

其中 $a, b>0$. 这时候，再令坐标轴单位做一下伸缩变换，就可以使原图像的方程变为

$$
z^2+w^2=1
$$

也就说，一个椭圆的规范形是唯一的。

上一篇：用正交变换化二次型为标准形与合同

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