最后更新: 2024-10-13 08:59 ● 参与者查看: 339 次纠错分享评论参与项目

函数

函数（function），从初中我们就学过，例如  $y=x$ 是一次函数， $y=x^2$ 是二次函数， $y=\frac{1}{x}$ 是反比例函数等等。

但是，如何定义函数却不是一件容易的事情。

目前其定义通常分为**传统定义**和**近代定义**，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。

传统的，在一个变化过程中，$y$是$x$的函数，当$x$确定一个值，$y$就随之确定一个值这样就形成了函数。

而近世代数里，开始使用集合定义函数，给定一个数集$A$，假设其中的元素为$x$，对$A$中的元素$x$施加对应法则$f$，记作$f(x)$，得到另一数集$B$，假设$B$中的元素为$y$，则$y$与$x$之间的等量关系可以用$y=f(x)$表示.

这两种定义本质上是一样的，事实上这个对应发展通常叫做“**映射**”。

函数概念含有三个要素：定义域$A$、值域$B$和对应法则$f$。其中核心是对应法则$f$，它是函数关系的本质特征。

**1.一对多不是函数**
参考下图的一对多关系。X中的元素3与Y中的两个元素b和c相关。因此这是多值函数，这不是函数。
如果用集合语句描述：A是实数集合，B为有理数。f：映射法则为平方根。这样当输入数字9时，就有$\pm3$ 与之对应，这不是数学意义上的函数的定义。

![图片](/uploads/2023-08/image_202308213594655.png)

**2.偏函数不是函数**
参考下图一对一但非完全对应。X的元素1未与Y的任一元素相关。因此这是偏函数，而也不是传统意义上的数学函数的定义。因为函数的定义要求对于任意一个x里的值，有确定的$y$与其对应，显然x=1没有值与其对应。

![图片](/uploads/2023-08/image_202308219d07c5b.png)

**3.多对一是函数**
完全对应且多对一，这满足数学意义上的函数的定义，因此这是函数。我们可以写出其表达式为：

$$
f(x)= \begin{cases}d, & \text { if } x=1 \\ d, & \text { if } x=2 \\ c, & \text { if } x=3\end{cases}
$$

![图片](/uploads/2023-08/image_202308219f2aeeb.png)

## 函数的来源

函数，英文名字叫做function，通用翻译是“功能”的意思，比如物理中，路程=速度*时间，写成物理函数是： $ s= v*t $, 当 v=10m/s , 写成数学函数为 $ y=10*x$ ，这样，当输入 $x=2$秒时, $y=20$米，意即：输入一个数字，输出一个结果，对用户来说，完成了一个“功能”。

而现代中文数学书上使用的“函数”一词是转译词。是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》（1859年）一书时，把“function”译成“函数”的。

中国古代“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思。李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数。”中国古代用天、地、人、物4个字来表示4个不同的未知数或变量。这个定义的含义是：“凡是公式中含有变量$x$，则该式子叫做$x$的函数。”

所以“函数”是指公式里含有变量的意思。我们所说的方程的确切定义是指含有未知数的等式。但是方程一词在我国早期的数学专著《九章算术》中，意思指的是包含多个未知量的联立一次方程，即所说的线性方程组

一、变数和变域
在研究自然现象时，人们会遇到许多不同的物理量，如时间、长度、体积、速度、质量、力等等. 按照给定条件, 能取许多不同数值的量叫做变量; 而只取一个数值的量叫做 常量, 用来表达变量的符号叫做变数. 习惯上常用 $x, y, z$等字母表示变数, 从纯数学的观点来说, 一个变数就是一个 "能取许多不同数值"的符号, 它所能取的所有数值构成一个集合, 叫做它的变域. 如果变数 $x$的变域已经给出, 我们就认为变数 $x$ 是已知的. 一般说来, 任何数集可以当作变数的变域. 常会遇到取所有自然数的变数 $n$, 譬如数列中的项数. 可是在现实生活中, 我们通常研究的是连续变化的变数, 如动点所经过的路程及所花的时间等物理量, 就是这种变数的原形, 数的区间就是这一类变数的变域, 最常用的区间是以两个实数 $a$ 与 $b(a<b)$ ——它的两个端点——为界限的有限区间，两个端点本身可以包含在区间内, 也可以不包含在内. 因此我们可以把区间分为:
- 开区间 $(a, b)$ 就是 $\{x \mid a<x<b\}$;
- 闭区间 $[a, b]$ 就是 $\{x \mid a \leq x \leq b\}$ ；
- 半开区间 $(a, b]$ 就是 $\{x \mid a<x \leq b\} ;[a, b)$ 就是 $\{x \mid a \leq x<b\}$.

在上述各种情形, 数 $b-a$ 为区间的长度.
 ![图片](/uploads/2024-10/646b7d.jpg)
 
 有时也要考虑无穷区间, 用符号 $-\infty,+\infty$ 作为一端或两端, 它们的记号和上面所引进的相类似，例如 $(-\infty,+\infty)$ 是全体实数集合 $\{x \mid x \in R \}$ ，区间 $(a,+\infty)$ 表示集合 $\{x \mid x>a\}$ ，区间 $(-\infty, b]$ 表示集合 $\{x \mid x \leq b\}$ 。无穷区间在几何上可用两端无限伸延的直线或一端无限伸延的射线来表示.

以后我们要常用到一点的邻域的概念. $c$ 点的邻域是包含 $c$ 点的任何开区间 $(a, b)$, 而 $c$ 点的去心邻域指去掉 $c$ 点的任何 $c$ 点的邻域. 它的图象如图8.6.
$c$ 点的去心邻域可写成 $(a, c) \cup(c, b)$. 我们常把 $c$ 点的邻域写成对称的形式: $(c-r, c+r)$, 对任何 $r>0$, 并且称它为 $c$ 点的对称邻域.

例8.1 试写出含于区间 $(1,5)$ 中 $\pi$ 的对称邻域. $\left(\pi-\frac{1}{2}, \pi+\frac{1}{2}\right)$ 是含于 $(1,5)$的 $\pi$ 对称邻域. 此外 $(\pi-1, \pi+1),\left(\pi-\frac{3}{2}, \pi+\frac{3}{2}\right),(\pi-0.01, \pi+0.01)$ 等都是含于 $(1,5)$ 中的对称邻域.

## 定义

设有数集 $A, B$, 如果有一对应关系或法则 $f$ 存在, 对于 $A$ 的任何一个数 $x$ ，有数集 $B$ 中唯一的一个数 $y$ 与之对应，我们就称给出了一个从数集 $A$ 到数集 $B$ 内的函数 $f$, 用

$$
f: A \mapsto B
$$

表示, 并写成 $y=f(x),(x \in A)$, 此时称 $f(x)$ 为函数 $f$ 在 $x$ 的函数值,并称 $A$ 为函数 $f$ 的定义域. 又当 $x$ 取遍 $A$ 中的数时, 函数值 $f(x)$ 全体也构成一个数集，称为函数 $f$ 的值域，记作

$$
f(A)=\{f(x) \mid x \in A\}
$$

要注意的是在构造一个函数 $f: A \mapsto B$ 的时候, $f(A)$ 不一定等于 $B$, 而是 $B$ 的一个真子集, 即 $f(A) \subset B$.

例8.2 设 $R$ 是实数集, 函数 $f: R \mapsto R$ 定义为

$$
f(x)=\frac{2 x}{x^2+1}, \quad x \in(-\infty,+\infty)
$$

求它的值域.
解: 方程 $f(x)=\frac{2 x}{x^2+1}$ 等价于

$$
y x^2-2 x+y=0
$$

根据函数的值域定义，任给 $y \in f( R )$ ，方程（8.1）必有实数解，而方程（8.1）有实数解的充要条件是

$$
\Delta=1-y^2 \geq 0
$$

即: $-1 \leq y \leq 1$, 所以

$$
f( R )=\{f(x) \mid-1 \leq f(x) \leq 1\} \subset R
$$

在函数的定义中包含三个要素, 即定义域, 多对一的对应法则和函数值所在的数集. 应养成一个习惯，当给定一个函数时，必须指明它的定义域. 在实际问题中，函数的定义域是根据实际意义来确定的，例如温度计刻有华氏温标度数 $F$ 和摄氏温标度数 $c$, 因为不存在低于绝对零度的温度, 因此, 这两个度数之间的函数 $\varphi$ 是

$$
F=\varphi(c)=\frac{9}{5} c+32, \quad c \in(-273,+\infty)
$$

以后, 当我们只在数学上,一般地研究一个具体解析式子规定的函数关系时，如果定义域 $A$ 没有被指明，那么函数的定义域是使解析式子具有数值意义的所有 $x$ 的数值组成的自然定义域, 函数 $y$ 的值域通常是不指出的, 因为由对应的规律本身就可以确定函数的值域。

例 8.3 求下列函数定义域:
1. $f(x)=\frac{\sqrt{1-x}}{x}$
2. $g(x)=\sqrt{x^2-1}$

解:
1.

$$
\text { 函数 } f \text { 有意义 } \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
1-x \geq 0 \\
x \neq 0
\end{array} \quad \Rightarrow \quad x \leq 1, \quad x \neq 0\right.
$$

$\therefore \quad$ 函数 $f$ 的定义域为 $(-\infty, 0) \cup(0,1]$.
2 .
函数 $g$ 有意义 $\Leftrightarrow x^2-1 \geq 0 \Rightarrow x \leq 1$, 或 $x \geq 1$
$\therefore$ 函数 $g$ 的定义域为 $(-\infty,-1] \cup[1,+\infty)$.

## 相等的函数
怎样的两个函数是相等的函数? 在数学中, 有些函数可以用不同的方式来定义, 例如, 函数 $f: R \mapsto R ^{+} \cup\{0\}$ 是由 $f(x)=|x|$ 规定的, 而函数 $g: R \mapsto$ $R ^{+} \cup\{0\}$ 是由 $g(x)=\sqrt{x^2}$ 规定的, 这里表示 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的式子全不同, 但是对于它们的相同的定义域中的任一 $x$ 值, 经过不同规则的计算, 它们的结果是相同的, 即 $f(x)=g(x)$, 所以对于这个例子来说, 尽管函数 $f(x), g(x)$ 的表
达式不同, 我们说 $f(x)$ 和 $g(x)$ 表示相同的函数. 此外, 解析式子相同, 但定义域不同的函数是不相同的函数. 例如:

$$
\begin{array}{ll}
f_1(x)=\frac{1}{x}, & x \in(-\infty, 0) \cup(0,+\infty) \\
f_2(x)=\frac{1}{x}, & x \in(0,+\infty) \\
f_3(x)=\frac{1}{x}, & x \in(0,1)
\end{array}
$$

是不相同的函数, 因为对于 $x=-2, f_1$ 有意义而 $f_2, f_3$ 都无意义; 对于 $x=2$, $f_1$ 和 $f_2$ 都有意义而 $f_3$ 无意义.

下面给出相等（同）的两个函数的条件。
定义
两个函数 $f: A \mapsto B, g: C \mapsto D$ 称为相等的当且仅当 $A=C, B=D$,且对于每个 $a \in A$ (或 $C$ ), 有 $f(a)=g(a)$ 。

读者可能会不同意上面 $B=D$ 这个条件, 提出下面这个例子来反驳:
"由 $f(n)=g(n)=n$ 给出的两个函数 $f: N \mapsto N , g: N \mapsto Q$ 是相等的函数" 我们须指出两个函数不同的地方, 就函数值所在数集上看, $g$ 可以除以 2 ,因此，对于 $g$ 我们可以构造一个新函数， $\frac{1}{2} g: N \mapsto Q$ ，这里

$$
\left(\frac{1}{2} g\right)(n)=\frac{1}{2} n
$$

但是对于 $f$, 不能做这种构造.

四、函数的几个类型—满射、单射和双射
现在, 我们来讨论函数的三个重要类型, 先给出定义, 然后再举例说明.
定义
如果在函数 $f: A \mapsto B$ 的 $B$ 中的每一个数 $b$ 在函数 $f$ 的作用下都是 $A$ 中一个数或某些数的对应数, 也就是说: 对于任意 $b \in B$, 存在一个 $a \in A$, 使得 $b=f(a)$, 这样我们就说 $f$ 是由 $A$ 到 $B$ 的满射.

显然, 如果 $f: A \mapsto B$ 是满射, 那么 $f(A)=B$.
第二类函数和满射同样地重要，叫做单射，定义如下：

定义
如果对于 $A$ 中的任何两个不同的数 $a_1$ 和 $a_2$, 就在 $B$ 中有两个不同的函数值 $f\left(a_1\right)$ 和 $f\left(a_2\right)$, 即任何 $a_1, a_2 \in A, a_1 \neq a 2 \Rightarrow f\left(a_1\right) \neq f\left(a_2\right)$, 那么我们就说 $f: A \mapsto B$ 是单射（或一对一）。

它的逆否命题 "如果在 $B$ 中有 $f\left(a_1\right)=f\left(a_2\right)$ 就在 $A$ 中有 $a_1=a_2$, 那么函数 $f: A \mapsto B$ 叫做单射 (或一对一). " 和上面的定义等价, 也常用来说明函数是一对一的.

还有一类很重要的函数叫做双射.
定义
函数 $f: A \mapsto B$, 如果是满射又是单射, 就叫做 双射.
例8.4 函数 $f: R \mapsto[-1,1]$, 这里 $f(x)=\sin x, x \in R$ 是满射, 但不是单射,因为对于 $\sin x=\frac{1}{2} \in[-1,1]$, 就有无穷多个 $x=\frac{\pi}{6}+2 k \pi$ 或 $\frac{5 \pi}{6}+2 k \pi(k \in Z )$的值和它对应.

例 8.5 函数 $f: N \mapsto N$, 这里 $f(n)=2 n$ 是单射, 但不是满射.
例 8.6 设 $2 N$ 代表偶数集, 函数 $f: N \mapsto 2 N$, 这里 $f(n)=2 n$ 就是一双射.

在函数 $y=f(x) ， x \in A$ 中， $x$ 叫做自变量， $x$ 的取值范围 $A$ 叫做函数的定义域。当$x$取一个值时 $f(x)$的值为函数的值域。

下面给出在高中阶段常见函数定义域取值。

①一次函数 $y=k x+b$，二次函数 $y=a x^2+b x+c$ ，指数函数 $y=a^x$ 正弦函 数 $y=\sin x$ 和余弦函数 $y=\cos x$ 的定义域都为 $R$

② 分式函数 $y=\frac{1}{x}$ 的定义域为 $x \ne 0$

③对数函数 $y=\log _a x$ 的定义域为 $ x >0 $

④ 正切函数 $y=\tan x$ 的定义域为 $\left\{x \mid x \neq k \pi+\frac{\pi}{2}, k \in Z\right\}$

⑤ 幂函数 $y=x^{\frac{m}{n}}(m, n$ 互质且 $m, n \in Z)$

1. 当 $m \in Z ， n$ 为奇数且 $m n>0$ 时，定义域为 $R$; ；
2. 当 $m$ 为奇数 $n$ 为偶数且 $m n>0$ 时，定义域为 $[0,+\infty)$ ；
3. 当 $m \in Z^* ， n$ 为奇数且 $m n<0$ 时，定义域为 $(-\infty, 0) \cup(0,+\infty)$ ；
4. 当 $m$ 是奇数， $n$ 为偶数且 $m n<0$ 时，定义域为 $(0,+\infty)$ ；

其实，分式函数可以认为幂函数的特殊情况。整个数学体系就是由这 ①~⑤  个函数千变万化而来。

**不同阶段函数定义域不同**

比如，在高中阶段，对于 $y=\sqrt{x} $ 定义域的要求是 $x \ge 0$ ,但是，在复数里定义了 $i^2=-1$ , 所以 $\sqrt{-1}=i$
再比如，对于对数函数  $ y= \log aX$ ，定义域的要求是 $x > 0$，但是根据欧拉公式 $e^{i \pi}+1=0$ 意即  $-1=e^{i \pi}$ ，两边取对数可以得到 $ln(-1)=i \pi$, 这些都跳脱了初等函数的范畴。所以在初高中阶段，需要严格按照初等函数的要求计算定义域

**例1：** 求函数 $f(x)=\sqrt{x-1}+\lg (3-x)$ 的定义域。
答案：$[1,3)$
这类题目比较简单，解答过程中细心即可，不再举例。

**例2：** 已知 $f\left(x^2-3\right)=\lg \frac{x^2}{x^2-6}$ ，求函数 $f(x)$ 的定义域。
错解: 先求得 $f(x)=l g \frac{x^2}{x^2-6}$ ，再求得定义域为 $(-\infty,-3) \cup(3,+\infty)$ ；
正解: 由真数大于 0 得 $x^2>6 ， \therefore x^2-3>3 ， \therefore y=f(x)$ 的定义域为 $(3,+\infty)$

**例3：** 已知函数 $f(x)=\sqrt{a x^2+a x+3}$ 定义域为 $R$ ，求实数 $a$ 的取值范围。
一定要讨论 $a=0$ 和 $a \neq 0$ 两种情况:
当 $a=0$ 时符合题意;
当 $a \neq 0$ 时，要使函数 $f(x)=\sqrt{a x^2+a x+3}$ 的定义域为 $R$ ，则 $a>0$ 且 $\Delta=a^2-12 a \leq 0$ ，可得 $0<a \leq 12$ 。综上，实数 $a$ 的取值范围为 $[0,12]$.

**例4：** 已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{2 x^3}{x+1}, x \in\left(\frac{1}{2}, 1\right] \\ -\frac{1}{3} x+\frac{1}{6}, x \in\left[0, \frac{1}{2}\right]\end{array}\right.$, 函数 $g(x)=a \sin \left(\frac{\pi}{6} x\right)-2 a+2(a>0)$, 若存 在 $x_1 、 x_2 \in[0,1]$, 使得 $f\left(x_1\right)=g\left(x_2\right)$ 成立, 则实数 $a$ 的取值范围是 $\left[\frac{1}{2}, \frac{4}{3}\right]$

解析: 即两函数在 $[0,1]$ 上值域有公共部分, 先求 $f(x)$ 值域 $=\left\{\begin{array}{l}{\left[\frac{1}{6}, 1\right]} \\ {\left[0, \frac{1}{6}\right]}\end{array} \Rightarrow[0,1]\right.$, $g(x) \in\left[-2 a+2,2-\frac{3}{2} a\right]$, 故 $\left\{\begin{array}{l}2-2 a \leq 1 \\ 2-\frac{3}{2} a \geq 0\end{array}\right.$

**例5.**  设 $f(x)=x^2+a x,\{x \mid f(x)=0, x \in \mathrm{R}\}=\{x \mid f(f(x))=0, x \in \mathrm{R}\} \neq \varnothing$, 则满足条件的所有实数 $a$ 的取值范围为？
解析: $f(x)=0 \Rightarrow x=0$ 或 $x=-a ; f(f(x))=0 \Rightarrow f(x)=0$ 或 $f(x)=-a$, 由
$f(x)=0 \Rightarrow x=0$ 或 $x=-a$, 则 $f(x)=-a$ 即 $x^2+a x+a=0$ 无解或根为 0 或 $-a$,
$\Delta<0 \Rightarrow 0<a<4$, 或 $a=0$ 故答案为  $0 \leq a<4$

**例6.**  设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$, 若存在非零实数 $l$, 使得对于任意 $x \in M(M \subseteq D)$, 有 $x+l \in D$, 且 $f(x+l) \geq f(x)$, 则称 $f(x)$ 为 $D$ 上的 $l$ 高调函数, 如果定义域是 $[0,+\infty)$ 的 函数 $f(x)=(x-1)^2$ 为 $[0,+\infty)$ 上的 $m$ 高调函数, 那么实数 $m$ 的取值范围是？
解析: 即存在实数 $m$ 使得对 $\forall x \in[0,+\infty)$ 都有 $(x+m-1)^2 \geq(x-1)^2$ 恒成立, 即 $m(2 x+m-2) \geq 0$ 恒成立, 当 $m \geq 0$ 时, $m \geq 2-2 x$ 恒成立, 即 $m \geq 2$; 当 $m<0$ 时, $m \leq 2-2 x$ 恒成立, 而 $2-2 x$ 无最小值, 此时 $m$ 不存在， 故答案为 $[2,+\infty)$

**例7.**  已知函数 $f(x)$ 的导函数 $f^{\prime}(x)=2 x-9$, 且 $f(0)$ 的值为整数, 当 $x \in(n, n+1]\left(n \in N^*\right)$ 时, $f(x)$ 的值为整数的个数有且只有 1 个, 则 $n=$
设 $f(x)=x^2-9 x+c, c$ 为整数, 由此得 $f(n+1)-f(n)=2 n-8$, 显然当 $n \neq 4$ 时, $f(n+1)-f(n)=2 n-8 \geq 2$, 不符合题意; 当 $n=4$ 时, $f(4)=f(5)=c-20$, 注 意到二次函数 $f(x)=x^2-9 x+c$, 顶点 $f\left(\frac{9}{2}\right)=c-\frac{81}{4}$, 显然在区间 $\left[c-\frac{81}{4}, c-20\right]$ 上整 数只有 $c-20$, 适合题意, 故 $n=4$

**例 8.**  若函数 $f(x)=a^x(a>1)$ 的定义域和值域均为 $[m, n]$, 则 $a$ 的取值范围是?
解析: 等价于方程 $a^x=x$ 有两解 $m, n$, 即 $x \ln a=\ln x$ 有两解, $\ln a=\frac{\ln x}{x}=g(x)$,

$$
g^{\prime}(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}=0 \text {, 当 } x=e \text { 时有最大值, 故 } 0<\ln a<g(e)=\frac{1}{e}
$$

**例 9.** 已知 $a, b, c$ 为正整数, 方程 $a x^2+b x+c=0$ 的两实根为 $x_1, x_2\left(x_1 \neq x_2\right)$, 且 $\left|x_1\right|<1,\left|x_2\right|<1$, 则 $a+b+c$ 的最小值为
解析: 依题意, 可知 $\left\{\begin{array}{l}\Delta=b^2-4 a c>0, \\ x_1+x_2=-\frac{b}{a}<0, \text { 从而可知 } x_1, x_2 \in(-1,0), \text { 所以有 } \\ x_1 x_2=\frac{c}{a}>0,\end{array}\right.$ $\left\{\begin{array}{l}b^2-4 a c>0, \\ f(-1)=a-b+c>0, \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}b^2>4 a c, \\ b<a+c, \\ c<a .\end{array}\right. \\ x_1 x_2=\frac{c}{a}<1 .\end{array}\right.$ $a+1>b \Rightarrow a \geq b$, 所以 $a^2 \geq b^2>4 a c=4 a \Rightarrow a>4$. 从而 $a \geq 5$, 所以 $b^2>4 a c \geq 20$. 又 $b<5+1=6$, 所以 $b=5$, 因此 $a+b+c$ 有最小值为 11 .
下面可证 $c \geq 2$ 时, $a \geq 3$, 从而 $b^2>4 a c \geq 24$, 所以 $b \geq 5$.
又 $a+c>b \geq 5$, 所以 $a+c \geq 6$, 所以 $a+b+c \geq 11$.
综上可得, $a+b+c$ 的最小值为 11 .

**例 10.**   设 $m \in N$, 若函数 $f(x)=2 x-m \sqrt{10-x}-m+10$ 存在整数零点, 则 $m$ 的取值集合 为 . $\{0,3,14,30\}$
解析: 令 $\sqrt{10-x}=t \geq 0, x=10-t^2$ 当 $m=0$ 时, 显然适合题意; 当 $m \neq 0$ 时, 由于 $x, \in Z m \in N$, 故 $t \in N$, 由 $2\left(10-t^2\right)-m t-m+10=0 \Rightarrow 2 t^2+m t+m-30=0$ $\Rightarrow m=\frac{30-t^2}{t+1}=\frac{30-(n-1)^2}{n}=\frac{28}{n}-2 n+4 \quad(n=t+1)$, 则 $n$ 可能取 $1,2,4,7,14,28$, 分别检验 $m$ 值, 可得结论

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