最后更新: 2024-09-11 20:47 ● 参与者查看: 408 次纠错分享评论参与项目

利用导数求极值

## 利用导数来确定函数的极值
一个函数极大值与极小值统称为**极值**, 极大点与极小点统称为**极值点**

### 驻点
考虑高中阶段，学习的局限性，这里不给出详细的推导，仅从几何图形上给与解释。如下图

![图片](/uploads/2023-10/5bf874.svg){width=350px}

若一个一元函数 $y=f(x)$ 在某区间内处处可导（即对区间内的任何 $x$ 导数 $f^{\prime}(x)$ 都存在），若区间内存在某些 $x_i$ 能使 $f^{\prime}\left(x_i\right)=0$ (即在这些点处函数曲线的斜率为零)，这样的点被称为**驻点**。

而从函数曲线来看，驻点又分为三类：极大值，极小值，鞍点。我们以 $x_i$ 为中心取一个小区间，如果这个区间足够小，那么容易看出对于极大值点， $f^{\prime}(x)$ 在小区间内递减，对于鞍点， $f^{\prime}(x)$ 在小区间内恒为非负或恒为非正，对于极小值点， $f^{\prime}(x)$ 在小区间内递增。

所以为了判断驻点的类型，我们可以在驻点处求函数的二阶导数 $f^{\prime \prime}\left(x_i\right)$ 。假设二阶偏导存在，如果 $f^{\prime \prime}\left(x_i\right)<0$ ，那么 $x_i$ 是极大值点，如果 $f^{\prime \prime}\left(x_i\right)>0 ， x_i$ 是极小值点。要注意的是，如果 $f^{\prime \prime}\left(x_i\right)=0$ ，不能直接判断 $x_i$ 鞍点，需要进一步分析：例如我们可以判断驻点左边和右边的一阶导数符号，如果同号则是驻点，左正右负则是极大值，左负右正则是极小值。
另外，若某个极小值点是整个考察区间中函数值最小的点，它就被称为最小值点，若某个极大值点是该区间中函数值最大的点，它就被称为最大值点。

下面我们来讨论如何确定一个函数的极值．

## 判断函数的极值

1.若 $x_0$ 是 $f(x)$ 的极值点, 且 $f(x)$ 在点 $x_0$ 可导, 那么必有 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$.

2.若 $f(x)$ 在 $x_0$ 不可导, 这时 $x_0$ 也可能是极值点, 例如, $f(x)=|x|$, 它在 $x_0=0$ 这一点不可微, 但从图即可看出 $x_0=0$ 是它的极小点.

![图片](/uploads/2024-09/cff045.jpg)

**例1**
二次函数 $f(x)=a x^2+b x+c$ 的导函数为 $f^{\prime}(x)=2 a x+b$ ，所以唯一的驻点为 $-b /(2 a)$ 。函数的二阶导数是一个常数 $f^{\prime \prime}(x)=2 a$ ，所以当 $a>0$ 时驻点是唯一的极小值点，即最小值点。同理，当 $a<0$ 时驻点是最大值点。

**例 2**
函数 $f(x)=x+a / x(a>0)$ 的一阶导函数为 $f^{\prime}(x)=1-a / x^2$ ，若我们只考察区间 $(0,+\infty)$ ，唯一的驻点为 $x=\sqrt{a}$ 。函数的二阶导函数 $f^{\prime \prime}(x)=2 a / x^3$ 在驻点处的值为 $2 / \sqrt{a}>0$, 所以该驻点为当前区间的最小值点 (图 2 )。
![图片](/uploads/2023-10/025613.svg){width=300px}

**例 3**
函数 $f(x)=x^3$ 的一阶导函数为 $f^{\prime}(x)=3 x^2$ ，唯一的驻点为 $x=0$ 。 函数的二阶导函数 $f^{\prime \prime}(x)=6 x$ 在驻点处的值为 0 。由于 $f^{\prime}(x)$ 在原点左侧和右侧都大于 0 ，所以这是一个鞍点。

**例4**  讨论 $y=\sqrt[3]{(x-1)(x+2)^2}$ 的极值, 并绘出图象的草图.
解: 将 $y=\sqrt[3]{(x-1)(x+2)^2}$ 的两边立方, 得

$$
\begin{aligned}
y^3 & =(x-1)(x+2)^2 \\
3 y^2 \cdot y^{\prime} & =(x+2)^2+(x-1) \cdot 2 \cdot(x+2) \\
& =(x+2)[x+2+2(x-1)] \\
& =3 x(x+2)
\end{aligned}
$$

$\therefore y^{\prime}=\frac{x(x+2)}{y^2}=\frac{x(x+2)}{\sqrt[3]{(x-1)^2(x+2)^4}}$ 即

$$
y^{\prime}=\frac{x}{\sqrt[3]{(x-1)^2(x+2)}} \quad(x \neq 1, x \neq-2)
$$

- 当 $x=0$ 时, $y^{\prime}=0$, 函数图象在点 $x=0$ 处有水平切线;
- 当 $x=-2$ 和 1 时, $y^{\prime}$ 不存在, 但是由 $\lim _{x \rightarrow 1} y^{\prime}=+\infty$ 和 $\lim _{x \rightarrow-2^{+}} y^{\prime}=-\infty$,而 $\lim _{x \rightarrow-2^{-}} y^{\prime}=+\infty$ 得知函数图象在点 $x=1$ 和 $x=-2$ 处有平行 $y$ 轴的切线, 所以函数的可能的极值点是 $x=-2,0,1$ 这三个点.

为确定曲线的 $y$ 截距, 令 $x=0$, 得 $y=-\sqrt[3]{4} 4 \approx-1.59$; 为确定它的 $x$ 截距, 令 $y=0$, 得 $x=-2$ 和 $x=1$, 现列表讨论它的增减性与极值如下:
 ![图片](/uploads/2024-09/13a215.jpg)
 画出其函数图像如下
 
  ![图片](/uploads/2024-09/802d5d.jpg)

## 求函数的最值
在实践中有一类 "最大"、"最小"、"最省" 的问题, 例如生产搪瓷杯时, 就要考虑在一定容积下, 杯子的高和直径取多大时, 用料最省. 又如把一根圆木锯成矩形截面横梁时，怎样选取矩形的长和宽才能使横梁强度最大？这类 "最大"、"最小"、"最省"等问题, 在数学上叫做最大值、最小值问题.

我们曾在上面指出过 "在闭区间 $[a, b]$ 上连续的函数 $f(x)$ 总是具有最大值和最小值", 但是, 微积分并未提供确定函数 $f(x)$ 的最大值、最小值的直接方法. 如果我们讨论的函数 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上有连续的一阶导数, 那么只要求出 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内的驻点, 即 $f^{\prime}(x)=0$ 的根, 就可以求出 $f(x)$ 的局部极值.显然, $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的最大值和最小值一定出现在局部极大值、局部极小值和端点值之中, 从几何上来说, 最大值、最小值如果不是位于定义区间的端点上, 则分别是曲线的波峰和波谷.

下面给出求函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上最大值和最小值的法则, 这个法则适用于在 $[a, b]$ 上连续, 在 $(a, b)$ 内可微的函数 $f(x)$, 并且 $f^{\prime}(x)$ 最多在有限个点上等于零.
1. 求 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内的驻点, 即解 $f^{\prime}(x)=0$;
2. 计算 $f(x)$ 在驻点和端点的函数值, 并把这些值加以比较, 其中最大的一个为最大值, 最小的一个为最小值.

假如 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 内有一个驻点 $c$, 且在整个 $(a, b)$ 上, $f^{\prime \prime}(x)<0(>0)$,那么点 $c$ 是最大值 (最小值) 点.

事实上, 如果 $f^{\prime \prime}(x)<0, x \in(a, b)$, 那么函数 $f^{\prime}(x)$ 在 $[a, b]$ 上递减, 因而 $c$ 是其唯一的驻点, 由中值定理知:

$$
\begin{aligned}
& \text { 当 } a \leq x<c \text { 时, } f^{\prime}(x)-f^{\prime}(c)=(x-c) \cdot f^{\prime \prime}(\xi), \text { 这里 } x<\xi<c . \\
& \because f^{\prime}(c)=0, f^{\prime \prime}(\xi)<0, \quad x-c<0, \\
& \therefore f^{\prime}(x)>0
\end{aligned}
$$

同理说明当 $c<x \leq b$ 时, $f^{\prime}(x)<0$. 再根据 $f(x)$ 在 $[a, c]$ 上递增而在 $[c, b]$上递减. 故当 $x \neq c$ 时有 $f(x)<f(c)$. 由此可知 $c$ 是最大值点. 当 $f^{\prime \prime}(x)<0$时, 也可以进行同样的论证.
如果 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 内有不可微的点, 而且这种点只有有限个, 那么求最大值和最小值的法则改为求出三种点的对应函数值再加以比较, 即 $f(x)$ 的驻点的函数值, $f(x)$ 的不可微点的函数值, 最后还有端点的函数值 $f(a)$ 和 $f(b)$, 这些值中最大的就是最大值, 最小的就是最小值.

在实际问题中, 如果在 $(a, b)$ 内部, $f(x)$ 只有一个驻点 $c$, 而且从实际问题本身又可以知道在 $(a, b)$ 内必定有最大值或最小值, 那么 $f(c)$ 就是所要求的最大值或最小值, 不需要算出 $f(a), f(b)$ 了.

**例5** 求函数 $f(x)=x^{\frac{2}{3}}-\left(x^2-1\right)^{\frac{1}{3}}$ 在区间 $[-2,2]$ 上的最大值和最小值.
解:

$$
\begin{aligned}
f^{\prime}(x) & =\frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}}-\frac{1}{3}\left(x^2-1\right)^{-\frac{2}{3}} \cdot 2 x \\
& =\frac{2}{3} \frac{\left(x^2-1\right)^{\frac{2}{3}}-x^{\frac{4}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}\left(x^2-1\right)^{\frac{2}{3}}}
\end{aligned}
$$

故 $f(x)$ 的驻点是 $\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$, 不可微点是 $x=0, x= \pm 1$, 且这些点都在 $[-2,2]$ 内,因此 $f(x)$ 的极值点可能是

$$
-1, \quad \frac{-1}{\sqrt{2}}, \quad 0, \quad \frac{1}{\sqrt{2}}, \quad 1
$$

由于 $f(x)$ 是偶函数, 故仅需计算

$$
f(0)=1, \quad f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=4, \quad f(1)=1
$$

又在端点 $x=2$ 处的函数值 $f(2)=\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{3}$, 把上面这些函数直相互比较, 可见 $f(x)$ 在 $[-2,2]$ 中的最大值为 $\sqrt[3]{4} \approx 1.59$, 最小值为 $\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{3} \approx 1.59-1.44 \approx$ 0.15 .

*科数网提供有在线函数功能，可以通过计算机模拟曲线，详情见  [https://kmath.cn/func](https://kmath.cn/func),  判断函数凸凹性见 https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=149

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