最后更新: 2024-10-03 07:47 ● 参与者查看: 315 次纠错分享评论参与项目

不定积分

按照定义, 一个函数的原函数或不定积分都有相应的定义区间. 为了简便起 见, 如无特别的说明, 今后就不再注明.先看一些例题。

`例` 设 $f(x)$ 和 $f^{\prime}(x)$ 均连续, 问: $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(\int f(x) \mathrm{d} x\right)$ 与 $\int f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ 是否相等?
解 不相等.
设 $F^{\prime}(x)=f(x)$, 则

$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(\int f(x) \mathrm{d} x\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}(F(x)+C)=F^{\prime}(x)+0=f(x) .
$$

而由不定积分定义 $\int f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=f(x)+C$, 知 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(\int f(x) \mathrm{d} x\right) \neq \int f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$.

`例` $\int x^\alpha \mathrm{d} x(\alpha \neq-1, x>0)$.
解 因为 $\left(x^{\alpha+1}\right)^{\prime}=(\alpha+1) x^{\alpha}$, 所以 $\left(\frac{1}{\alpha+1} x^{\alpha+1}\right)^{\prime}=x^\alpha$, 即 $\frac{1}{\alpha+1} x^{\alpha+1}$ 是 $x^\alpha$ 的一个原函数. 故

$$
\int x^\alpha \mathrm{d} x=\frac{1}{\alpha+1} x^{\alpha+1}+C .
$$

`例` 求 $\int \frac{1}{x} \mathrm{~d} x\left(\int x^{-1} \mathrm{~d} x\right)$.
解 当 $x>0$ 时, $(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}$;
当 $x<0$ 时, 即 $-x>0$ 时, $[\ln (-x)]^{\prime}=\frac{1}{-x} \cdot(-1)=\frac{1}{x}$.
故 $\ln x$ 为 $\frac{1}{x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上的一个原函数, $\ln (-x)$ 为 $\frac{1}{x}$ 在 $(-\infty, 0)$ 上的一个原函数. 故当 $x \neq 0$ 时, $\ln |x|$ 为 $\frac{1}{x}$ 的一个原函数, 从而

$$
\int \frac{1}{x} \mathrm{~d} x=\ln |x|+C \quad(x \neq 0) .
$$

`例` $\int a^x \mathrm{~d} x \quad(a \neq 1, a>0)$
解 因 $\left(a^x\right)^{\prime}=a^x \ln a,\left(\frac{1}{\ln a} a^x\right)^{\prime}=a^x$, 故 $\frac{1}{\ln a} a^x$ 是 $a^x$ 的一个原函数, 从而

$$
\int a^x \mathrm{~d} x=\frac{1}{\ln a} a^x+C .
$$

`例` 设曲线通过点 $(1,1)$, 且其上任意一点处的切线斜率等于这点横坐标的 平方, 求此曲线的方程.
解 设所求的曲线方程为 $y=f(x)$. 根据题意知曲线上任意一点 $(x, y)$ 处的 切线斜率为 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=x^2$. 由 $\int x^2 \mathrm{~d} x=\frac{1}{3} x^3+C$ 得曲线方程 $y=\frac{1}{3} x^3+C$.
又 $\left.y\right|_{x=1}=1$, 故 $C=\frac{2}{3}$, 因此所求的曲线方程为

$$
y=\frac{1}{3} x^2+\frac{2}{3} \text {. }
$$

## 不定积分的几何意义
以 $\int x^2 \mathrm{~d} x=\frac{x^3}{3}+C$ 为例, 我们来看关于不定积 分的几何意义.
$y=\frac{x^3}{3}+C$ 的图形为 $y=\frac{x^3}{3}$ 的图形沿 $y$ 轴方向 移动一段距离 $|C|$ 得到的. $C>0$ 时向上移, $C<0$ 时 向下移 (见图3-1). 通常称 $f(x)$ 的一个原函数 $F(x)$ 的图形为函数 $f(x)$ 的积分曲线, 不定积分 $\int f(x) \mathrm{d} x$ 在几何上表示积分曲线族. 在积分曲线族 上, 横坐标相同的点处的切线是相互平行的.

![图片](/uploads/2022-12/image_2022122949db963.png)

请勿与定积分的意义搞混淆。定积分表示的是求曲面下的面积，如下图
![图片](/uploads/2023-10/7261a6.svg){width=300px}

>不定积分反映的是该点的属性。而定积分则反应的是面积属性

## 再看 $\int \frac{1}{x} \mathrm{~d} $ 积分 
在上面求 $\int \frac{1}{x} \mathrm{~d}= ln |x|+C $. 从例2里可以看到，他其实是幂函数$a=-1$的情况，但是当$a=-1$其积分后的结果变成了0，最终结果是 $ln |x|+C$.

### 为什么要加绝对值

首先，我们要明白什么是积分。简单来说，**定积分**就是求一个函数图像与$x$轴之间围成的面积。**不定积分**就是求这个面积的"原函数"，也就是求一个函数，它的导数等于给定的函数。

我们来看函数 $y=1 / x$ 。这个函数的图像是一个双曲线，它在第一象限和第三象限。当 $x$ 越来越大时， $y$ 的值越来越小，但永远不会等于 $0$ 。同样地，当$x$越来越小时（但仍然是正数）， $y$ 的值越来越大。在第三象限，情况类似，只不过 $y$ 的值是负的。
 ![图片](/uploads/2024-10/5dbdbe.jpg)
 
我们知道，对于直线 $y=m x$ （ $m$ 是常数），它的斜率是 $m$ ，也就是说，无论$x$是多少， $y$ 的变化率都是 $m$ 。但对于曲线 $y=1 / x$ 来说，**它的斜率是不断变化的**。事实上，这条曲线的斜率就是它自己在该点的 $y$ 值。也就是说，当 $x=a$时，斜率是 $1 / a$ 我们要找一个函数，它的导数（也就是斜率）等于 $1 / x$ 。这个函数就是 $ \ln x \mid$ 。为什么是这样呢？因为自然对数函数 $\ln x$ 有一个特殊的性质：它的导数就是 $1 / x$ 。当我们对 $1 / x$ 进行积分时，得到的结果就是 $\ln |x|+C$ ，其中C是一个常数。这个常数是因为积分的结果不是一个唯一的函数，而是一个函数族，它们之间只相差一个常数。

### 计算机模拟
因为 $\frac{1}{n+1} x^{n+1}$ 是个随 $n$ 变化的初等函数，必然取值连续，虽然在 $n=-1$ 时无法直接计算，但是我学了极限啊，所以猜想: 通解在 $n \rightarrow-1$ 时的极限就是 $\ln x$ 。

又，$\lim _{n \rightarrow-1}\left(\frac{1}{n+1} x^{n+1}\right)= \pm \infty ， n \rightarrow-1$ 时左右极限还不一样，从代入 0 后，式子变成 $\frac{1}{0} x^0$ 能看出来。

看看计算机模拟的结果， 做两条曲线: 绿色 $f(x)=\frac{1}{n+1} x^{n+1} ，$ 蓝色 $g(x)=\ln x$
（小提示：这里有2个变量，$n$和$x$ 在计算里模拟里，给出一个$n$就得到一个函数式$f(x)$，进而计算机可以画出$f(x)$图形 ）

![a.gif](/uploads/2024-10/1f7d32.gif)

如果把图形放慢，可以看到在$n=-1$确实重合了。另外因为不定积分表示的曲线簇（也就是常量C），所以这里增加一个$1/(n+1)$ 让图形平移。

![2.GIF](/uploads/2024-10/671886.GIF)

如果严格推导， $\frac{1}{x}$ 的定义域为 $(-\infty, 0) \bigcup(0,+\infty)$, 而 $\ln x$ 的定义域为 $(0, \infty]$.
当 $x<0$, 有 $\ln (-x)=\frac{-1}{-x}=\frac{1}{x}$, 从而此时 $\int \frac{1}{x} d x=\ln (-x)+C,(x<0)$;
当 $x>0$, 有 $\ln (-x)=\frac{1}{x}$, 从而此时 $\int \frac{1}{x} d x=\ln x+C,(x>0)$.
因为我们规定$lnx$，真数$x$大于0才有意义.
综上 $\int \frac{1}{x} d x=\ln |x|+C$.

务必注意: 不定积分是针对区间来说的。若 $G(x)$ 在区间 $I$ 上的导函数为 $f(x)$, 就称 $G(x)$ 是 $f(x)$在区间 $I$ 上的不定积分（或反导数、原函数）。
$f(x)=1 / x$ 的定义区间是 $(-\infty, 0) \bigcup(0,+\infty)$. 由于初等函数在定义区间是连续的，而连续函数必有不定积分，所以 $f(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 和 $(0,+\infty)$ 上都有不定积分。

容易求出， $f(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 上的不定积分是 $\ln (-x)+C_1, x<0$. 在 $(0,+\infty)$ 上的不定积分是 $\ln x+C_2, x>0$. 于是，可以将这两种情形合起来，表为 $\ln |x|+C$.

但即使这样写，也要明白，这并不是 $f(x)$ 在整个 $R$ 上的不定积分，而总是在负数区间或正数区间上的不定积分， $f(x)$ 在 $x=0$ 有无穷间断，在包含 $x=0$ 的任何区间，即使补充定义 $f(0)$ ，都是不可能有不定积分的。

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