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点到平面的夹角

## 点到平面的夹角
设 $P_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 为平面 $A x+B y+C z+D=0$ 外的一点，在 平面上任 取 一点 $P_1\left(x_1, y_1, z_1\right)$ (见图 5-39) . 则点 $P_0$ 到平面的距离 $d$ 就是 $\overrightarrow{P_1 P_0}$ 在 $\boldsymbol{n} \quad(\boldsymbol{n}=(A, B, C))$ 上的投影的绝对值，即 $d=\left|\operatorname{Pr}_{\mathrm{j}_n} \overrightarrow{P_1 P_0}\right|$.

![图片](/uploads/2022-12/image_20221230eea4a2d.png)

注意到 $A x_1+B y_1+C z_1+D=0$ ，故

$$
\begin{aligned}
d & =\left|\operatorname{Pr}_{\mathrm{j}_n} \overrightarrow{P_1 P_0}\right|=\frac{\left|\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{P_1 P_0}\right|}{|\boldsymbol{n}|}=\frac{\left|A\left(x_0-x_1\right)+B\left(y_0-y_1\right)+C\left(z_0-z_1\right)\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \\
& =\frac{\left|A x_0+B y_0+C z_0-A x_1-B y_1-C z_1\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=\frac{\left|A x_0+B y_0+C z_0+D\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} .
\end{aligned}
$$

即：点到平面的距离为
$$
\boxed{
 d=\frac{\left|A x_0+B y_0+C z_0+D\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}

}
$$

比如，我们可以利用公式计算点 $P_0(2,1,1)$ 到平面 $x+y-z+1=0$ 的距离:

$$
d=\frac{|2+1-1+1|}{\sqrt{1^2+1^2+(-1)^2}}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3} .
$$

![图片](/uploads/2022-12/image_202212309dc9615.png)

`例` 求两平行平面 $\Pi_1: 10 x+2 y-2 z-5=0$ 和 $\Pi_2: 5 x+y-z-1=0$ 之间的距离 $d$.
解 可在平面 $\Pi_2$ 上任取一点，该点到平面 $\Pi_1$ 的距离即为这两平行平面间的距离.
为此，在平面 $\Pi_2$ 上取点 $(0,1,0)$, 则

$$
d=\frac{|10 \times 0+2 \times 1+(-2) \times 0-5|}{\sqrt{10^2+2^2+(-2)^2}}=\frac{3}{\sqrt{108}}=\frac{\sqrt{3}}{6} .

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