最后更新: 2023-10-01 11:28 ● 参与者查看: 280 次纠错分享评论参与项目

对坐标的曲面积分的计算法

定理 2 设光滑有向曲面 $\sum$ 由方程 $z=z(x, y)$ 给出， $\sum$ 在 $x O y$ 面上的投影区 域为 $D_{x y}$ ，函数 $z=z(x, y)$ 在 $D_{x y}$ 上具有连续偏导数，且函数 $R(x, y, z)$ 在 $\Sigma$ 上连 续，
曲面 $\Sigma$ 取下侧，即 $\Sigma$ 的法向量的方向余弦中 $\cos \gamma<0$ 时，等式的右端取负号，即

$$
\iint_{\Sigma} R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=-\iint_{D_{x y}} R(x, y, z(x, y)) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y .
$$

定理的证明从略.
类似地，我们有相应的结果.
设光滑有向曲面 $\Sigma$ 由方程 $x=x(y, z)$ 给出， $\Sigma$ 在 $y O z$ 面上的投影区域为 $D_{y z}$ ， 函数 $x=x(y, z)$ 在 $D_{y z}$ 上具有连续偏导数，且函数 $P(x, y, z)$ 在 $\Sigma$ 上连续，则有

$$
\iint_{\Sigma} P(x, y, z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z=\pm \iint_{D_y} P(x, y, z(x, y)) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z,
$$

当曲面 $\sum$ 取前侧，即 $\sum$ 的法向量的方向余弦中 $\cos \alpha>0$ 时，等式的右端取正号，即

$$
\iint_{\Sigma} P(x, y, z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z=\iint_{D_{y z}} P(x(y, z), y, z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z
$$

曲面 $\Sigma$ 取后侧，即 $\Sigma$ 的法向量的方向余弦中 $\cos \alpha<0$ 时，等式的右端取负号，即

$$
\iint_{\Sigma} P(x, y, z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z=-\iint_{D_y} P(x(y, z), y, z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z .
$$

设光滑有向曲面 $\Sigma$ 由方程 $y=y(x, z)$ 给出， $\Sigma$ 在 $x O z$ 面上的投影区域为 $D_{x z}$ ， 函数 $y=y(x, z)$ 在 $D_{x z}$ 上具有连续偏导数，且函数 $Q(x, y, z)$ 在 $\Sigma$ 上连续，则有

$$
\iint_{\Sigma} Q(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z=\pm \iint_{D_x} Q(x, y(x, z)) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z ，
$$

当曲面 $\sum$ 取右侧，即 $\Sigma$ 的法向量的方向余弦中 $\cos \beta>0$ 时，等式的右端取正号，即

$$
\iint_{\Sigma} Q(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z=\iint_{D_{j E}} Q(x, y(x, z), z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z
$$

曲面 $\Sigma$ 取左侧，即 $\Sigma$ 的法向量的方向余弦中 $\cos \beta<0$ 时，等式的右端取负号，即

$$
\iint_{\Sigma} Q(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z=-\iint_D Q(x, y(x, z), z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z
$$

注 若 $\sum$ 是由平行于 $z$ 轴的母线构成的柱面，
这时，由于在 $x O y$ 面上所有的投影面积 $\left(\Delta \sigma_i\right)_{x y}=0$ ，
因此 $\iint_{\Sigma} R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=0$

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