最后更新: 2024-09-23 14:46 ● 参与者查看: 290 次纠错分享评论参与项目

分块矩阵的概念

## 分块矩阵
对于行数和列数较高的矩阵 $A$ ，运算时常用一些横线和坚线将矩阵 $A$ 分划成若干个小 矩阵，每一个小矩阵称为 $A$ 的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.
一个矩阵的分块方式会有很多种， 例如，

$$
A=\left(\begin{array}{cc:ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} & a_{15} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} & a_{25} \\
\hdashline a_{31} & a_{32} & \ldots \ldots & a_{33} & a_{35} \\
\hdashline a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} & a_{45}
\end{array}\right)
$$

记为
其中

$$
A_{11}=\left(\begin{array}{ll}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right), \quad A_{12}=\left(\begin{array}{lll}
a_{13} & a_{14} & a_{15} \\
a_{23} & a_{24} & a_{25}
\end{array}\right), \quad A_{21}=\left(\begin{array}{ll}
a_{31} & a_{32} \\
a_{41} & a_{42}
\end{array}\right), \quad A_{22}=\left(\begin{array}{lll}
a_{33} & a_{34} & a_{35} \\
a_{43} & a_{44} & a_{45}
\end{array}\right) .
$$

$$
A=\left(\begin{array}{cc:cc:c}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} & a_{15} \\
\hdashline a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} & a_{25} \\
a_{31} & a_{33} & a_{33} & a_{34} & a_{35} \\
\hdashline a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_4 & a_{45} .
\end{array}\right)
$$

记为
$A=\left(\begin{array}{lll}A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33}\end{array}\right)$, $A=\left(A_{11}, A_{12}, A_{13}, A_{14}, A_{15}\right),$
其中

$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{A}_{11}=\left(a_{11}, a_{12}\right), \quad \boldsymbol{A}_{12}=\left(a_{13}, a_{14}\right), \quad \boldsymbol{A}_{13}=a_{15}, \\
& \boldsymbol{A}_{21}=\left(\begin{array}{ll}
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32}
\end{array}\right), \quad \boldsymbol{A}_{22}=\left(\begin{array}{ll}
a_{23} & a_{24} \\
a_{33} & a_{34}
\end{array}\right), \quad \boldsymbol{A}_{23}=\left(\begin{array}{l}
a_{25} \\
a_{35}
\end{array}\right) \\
& \boldsymbol{A}_{31}=\left(a_{41}, a_{42}\right), \quad \boldsymbol{A}_{32}=\left(a_{43}, a_{44}\right), \quad \boldsymbol{A}_{33}=a_{45} .
\end{aligned}
$$

其中

$$
\boldsymbol{A}_{11}=\left(\begin{array}{l}
a_{11} \\
a_{21} \\
a_{31} \\
a_{41}
\end{array}\right), \quad \boldsymbol{A}_{12}=\left(\begin{array}{l}
a_{12} \\
a_{22} \\
a_{32} \\
a_{42}
\end{array}\right), \quad \boldsymbol{A}_{13}=\left(\begin{array}{l}
a_{13} \\
a_{23} \\
a_{33} \\
a_{43}
\end{array}\right), \quad \boldsymbol{A}_{14}=\left(\begin{array}{l}
a_{14} \\
a_{24} \\
a_{34} \\
a_{44}
\end{array}\right), \quad \boldsymbol{A}_{15}=\left(\begin{array}{l}
a_{15} \\
a_{25} \\
a_{35} \\
a_{45}
\end{array}\right) .

如果分块矩阵没有相应的运算，则 "分块矩阵" 这个概念是没有意义的。与矩阵的运算相对应，我们考虑分块矩阵的运算：加法、数乘、乘法、转置。当然基本要求是："分块前的运算结果与分块后的计算结果应该是一样的 ", 以矩阵加法为例, 设有矩阵 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$,其分块后分别记为 $\boldsymbol{A}_1, \boldsymbol{B}_1$, 则 $\boldsymbol{A}_1+\boldsymbol{B}_1$ 应该为 $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$ 某个分块下的结果。另外我们希望：

分块矩阵的运算法则最好与通常矩阵的对应运算有类似法则。例如, 矩阵加法 $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$ 定义为这两个矩阵的对应元素相加，因而对于分块矩阵相加，我们希望其运算法则为对应的子矩阵相加；矩阵乘法 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ 中， $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ 的一个元素为 $\boldsymbol{A}$ 的一行元素与 $\boldsymbol{B}$ 的一列元素对应相乘、相加，因而分块矩阵乘法 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ ，我们希望其运算法则为 $\boldsymbol{A}$ 的一行子矩阵与 $\boldsymbol{B}$ 的一列子矩阵相乘、相加；其它运算可类似地考虑。但目前需要指出的是：这只是我们的 "希望"，这种想法是否可行，需要考虑以下两个问题：
（1）如何对矩阵分块，才能使得这样的运算规律形式上能够进行？
（2）当第一步可行时，这样的运算规律是否成立？即分块矩阵的运算结果是否等于未分块矩阵的运算结果?
我们只考虑（1），对于（2）则省略

### 分块矩阵的加法 $A+B$

$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{cccc}
\boldsymbol{A}_{11} & \boldsymbol{A}_{12} & \cdots & \boldsymbol{A}_{1 s} \\
\boldsymbol{A}_{21} & \boldsymbol{A}_{22} & \cdots & \boldsymbol{A}_{2 s} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
\boldsymbol{A}_{r 1} & \boldsymbol{A}_{r 2} & \cdots & \boldsymbol{A}_{r s}
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cccc}
\boldsymbol{B}_{11} & \boldsymbol{B}_{12} & \cdots & \boldsymbol{B}_{1 s} \\
\boldsymbol{B}_{21} & \boldsymbol{B}_{22} & \cdots & \boldsymbol{B}_{2 s} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
\boldsymbol{B}_{r 1} & \boldsymbol{B}_{r 2} & \cdots & \boldsymbol{B}_{r s}
\end{array}\right] \\
& =\left[\begin{array}{cccc}
\boldsymbol{A}_{11}+\boldsymbol{B}_{11} & \boldsymbol{A}_{12}+\boldsymbol{B}_{12} & \cdots & \boldsymbol{A}_{1 s}+\boldsymbol{B}_{1 s} \\
\boldsymbol{A}_{21}+\boldsymbol{B}_{21} & \boldsymbol{A}_{22}+\boldsymbol{B}_{22} & \cdots & \boldsymbol{A}_{2 s}+\boldsymbol{B}_{2 s} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
\boldsymbol{A}_{r 1}+\boldsymbol{B}_{r 1} & \boldsymbol{A}_{r 2}+\boldsymbol{B}_{r 2} & \cdots & \boldsymbol{A}_{r s}+\boldsymbol{B}_{r s}
\end{array}\right]=\left[\boldsymbol{A}_{i j}+\boldsymbol{B}_{i j}\right]_{r \times s}
\end{aligned}
$$

### 分块矩阵的数乘
$$
\begin{aligned}
&k \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}
\boldsymbol{k} \boldsymbol{A}_{11} & k \boldsymbol{A}_{12} & \cdots & \boldsymbol{k} \boldsymbol{A}_{1 s} \\
k \boldsymbol{A}_{21} & k \boldsymbol{A}_{22} & \cdots & k \boldsymbol{A}_{2 s} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
k \boldsymbol{A}_{r 1} & k \boldsymbol{A}_{r 2} & \cdots & k \boldsymbol{A}_{n s}
\end{array}\right]=\left[k \boldsymbol{A}_{i j}\right]_{r \times s}
\end{aligned}
$$

### 分块矩阵的转置
$$
\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{cccc}
\boldsymbol{A}_{11}^{\mathrm{T}} & \boldsymbol{A}_{21}^{\mathrm{T}} & \cdots & \boldsymbol{A}_{r 1}^{\mathrm{T}} \\
\boldsymbol{A}_{12}^{\mathrm{T}} & \boldsymbol{A}_{22}^{\mathrm{T}} & \cdots & \boldsymbol{A}_{r 2}^{\mathrm{T}} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
\boldsymbol{A}_{1 s}^{\mathrm{T}} & \boldsymbol{A}_{2 s}^{\mathrm{T}} & \cdots & \boldsymbol{A}_{r s}^{\mathrm{T}}
\end{array}\right]
$$

### 分块矩阵的乘法
根据分块矩阵运算的原则, 母矩阵 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 分块后, 分块矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的列数必须等于分块矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的行数，即若

$$
\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}
\boldsymbol{A}_{11} & \boldsymbol{A}_{12} & \cdots & \boldsymbol{A}_{1 s} \\
\boldsymbol{A}_{21} & \boldsymbol{A}_{22} & \cdots & \boldsymbol{A}_{2 s} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
\boldsymbol{A}_{r 1} & \boldsymbol{A}_{r 2} & \cdots & \boldsymbol{A}_{r s}
\end{array}\right]=\left[\boldsymbol{A}_{i j}\right]_{r \times s}
$$

则分块矩阵 $\boldsymbol{B}$ 为

$$
\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{cccc}
\boldsymbol{B}_{11} & \boldsymbol{B}_{12} & \cdots & \boldsymbol{B}_{1 k} \\
\boldsymbol{B}_{21} & \boldsymbol{B}_{22} & \cdots & \boldsymbol{B}_{2 k} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
\boldsymbol{B}_{s 1} & \boldsymbol{B}_{s 2} & \cdots & \boldsymbol{B}_{s k}
\end{array}\right]=\left[\boldsymbol{B}_{i j}\right]_{s \times k}
$$

其结果是
$$
\boldsymbol{C}_{i j}=\sum_{t=1}^s \boldsymbol{A}_{i t} \boldsymbol{B}_{t j}
$$

例如假设A
$$
\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cc:ccc}
5 & -2 & -2 & 1 & 3 \\
4 & -3 & -2 & 0 & 2 \\
\hdashline-2 & 2 & 3 & 1 & 6 \\
1 & 4 & 2 & 3 & -2
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
\boldsymbol{A}_{11} & \boldsymbol{A}_{12} \\
\boldsymbol{A}_{21} & \boldsymbol{A}_{22}
\end{array}\right]
$$
那么 $\boldsymbol{B}$ 的分块方式则不唯一, 而只有 $\boldsymbol{B}$ 的列分块方式与 $\boldsymbol{A}$ 的行分块方式相同即可, 例如分块方式

$$
\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{c:cc}
5 & -2 & -2 \\
4 & -3 & -2 \\
\hdashline-2 & 2 & 3 \\
1 & 4 & 2 \\
2 & 1 & 4
\end{array}\right], \quad \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}
5 & -2 & -2 \\
4 & -3 & -2 \\
\hdashline-2 & 2 & 3 \\
1 & 4 & 2 \\
2 & 1 & 4
\end{array}\right]
$$

都是可接受的。

### 分块矩阵求逆矩阵
分块矩阵求逆没有普遍的规律，但是对于以下情形则比较简单。例如
$$
\begin{aligned}
&\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{cccc}
\boldsymbol{A}_1 \boldsymbol{B}_{11} & \boldsymbol{A}_1 \boldsymbol{B}_{12} & \cdots & \boldsymbol{A}_1 \boldsymbol{B}_{1 s} \\
\boldsymbol{A}_2 \boldsymbol{B}_{21} & \boldsymbol{A}_2 \boldsymbol{B}_{22} & \cdots & \boldsymbol{A}_2 \boldsymbol{B}_{2 s} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
\boldsymbol{A}_s \boldsymbol{B}_{s 1} & \boldsymbol{A}_s \boldsymbol{B}_{s 2} & \cdots & \boldsymbol{A}_s \boldsymbol{B}_{s s}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{llll}
\boldsymbol{E}_1 & & & \\
& \boldsymbol{E}_2 & & \\
& & \ddots & \\
& & & \boldsymbol{E}_n
\end{array}\right]\\
&\text { 由于 } A_1, A_2, \cdots, A_s \text { 都可逆, 所以有 }\\
&\boldsymbol{A}^{-1}=\left[\begin{array}{llll}
\boldsymbol{A}_1^{-1} & & & \\
& \boldsymbol{A}_2^{-1} & & \\
& & \ddots & \\
& & & \boldsymbol{A}_s^{-1}
\end{array}\right]
\end{aligned}
$$

### 分块矩阵乘法例题
 `例`设有矩阵

$$
\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
-1 & 2 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 1
\end{array}\right], \quad \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 1 & 0 \\
-1 & 2 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 4 & 1 \\
-1 & -1 & 2 & 0
\end{array}\right]
$$

计算 $\boldsymbol{A B}$ 。
解：直接用矩阵乘法的定义计算，需要 64 次乘法、 48 次加法。如果我们将这两个矩阵作如下分块：

$$
A=\left[\begin{array}{cc:cc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
\hdashline-1 & 2 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 1
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
E & O \\
A_1 & E
\end{array}\right] \quad A_1=\left[\begin{array}{cc}
-1 & 2 \\
1 & 1
\end{array}\right]
$$

$$
\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{cc:cc}
1 & 0 & 1 & 0 \\
-1 & 2 & 0 & 1 \\
\hdashline 1 & 0 & 4 & 1 \\
-1 & -1 & 2 & 0
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
B_{11} & \boldsymbol{E} \\
\boldsymbol{B}_{21} & \boldsymbol{B}_{22}
\end{array}\right]
$$

$$
\begin{aligned}
&\boldsymbol{B}_{11}=\left[\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
-1 & 2
\end{array}\right], \quad \boldsymbol{B}_{21}=\left[\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
-1 & -1
\end{array}\right], \quad \boldsymbol{B}_{22}=\left[\begin{array}{ll}
4 & 1 \\
2 & 0
\end{array}\right]\\
&\text { 根据分块矩阵乘法的运算规则, 有 }\\
&\begin{aligned}
& \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ll}
\boldsymbol{E} & \boldsymbol{O} \\
\boldsymbol{A}_1 & \boldsymbol{E}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}
\boldsymbol{B}_{11} & \boldsymbol{E} \\
\boldsymbol{B}_{21} & \boldsymbol{B}_{22}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
\boldsymbol{E} \boldsymbol{B}_{11}+\boldsymbol{O} \boldsymbol{B}_{21} & \boldsymbol{E} \times \boldsymbol{E}+\boldsymbol{O} \boldsymbol{B}_{22} \\
\boldsymbol{A}_1 \boldsymbol{B}_{11}+\boldsymbol{B}_{21} & \boldsymbol{A}_1 \boldsymbol{E}+\boldsymbol{I} \boldsymbol{B}_{21}
\end{array}\right] \\
& =\left[\begin{array}{cc}
\boldsymbol{B}_{11} & \boldsymbol{E} \\
\boldsymbol{A}_1 \boldsymbol{B}_{11}+\boldsymbol{B}_{21} & \boldsymbol{A}_1+\boldsymbol{B}_{21}
\end{array}\right]
\end{aligned}
\end{aligned}
$$

从上式可知, 只需要做两个二阶方阵的乘法。因此根据上式计算 $\boldsymbol{A B}$, 只需要做四次乘法、 6 次加法, 比直接计算 $\boldsymbol{A B}$ 所需要的运算量大大减少。

注意: 用分块矩阵简化矩阵运算, 只有在矩阵乘法中才有可能达到, 并且需要矩阵经过适当分块后有较多的 0 块、单位矩阵子块。

## 分块矩阵的作用
对于线性方程组，使用分块
$$
\boldsymbol{A}_{m \times n} \boldsymbol{X}_{n \times 1}=\boldsymbol{b}_{m \times 1}
$$

其中 $\boldsymbol{A}$ 为线性方程组的系数矩阵， $\boldsymbol{X}$ 为末知数所构成的列矩阵， $\boldsymbol{b}$ 为方程组右边的常数所构成的列矩阵。我们可采取如下分块方法,

$$
A=\left[\begin{array}{c:c:c:c}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{llll}
A_1 & A_2 & \cdots & A_n
\end{array}\right]
$$

则 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{b}$ 可写作

$$
x_1 \boldsymbol{A}_1+x_2 \boldsymbol{A}_2+\cdots+x_n \boldsymbol{A}_n=\boldsymbol{b}
$$

也就是

$$
x_1\left[\begin{array}{c}
a_{11} \\
a_{21} \\
\vdots \\
a_{m 1}
\end{array}\right]+x_2\left[\begin{array}{c}
a_{12} \\
a_{22} \\
\vdots \\
a_{m 2}
\end{array}\right]+\cdots+x_n\left[\begin{array}{c}
a_{1 n} \\
a_{2 n} \\
\vdots \\
a_{m n}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_m
\end{array}\right]
$$

该式称为线性方程组的向量表示。这在后面向量空间里经常使用。

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