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不等式

## 不等式
一元一次不等式的概念含几个要点：
（1）用不等号连接；
（2）不等号两边都是整式；
（3）只含有一个未知数，且含有未知数的项的最高次数为1.

解不等式一定要把握好基础知识：
①不等式的性质；②去分母，去括号，合并同类项.
熟练掌握并利用这些基础知识解题，保证准确率.

【例1】下列式子中, 一元一次不等式有（ $\mathbf{A} ）$
(1) $3 x-1 \geqslant 4$; (2) $2+3 x>6$; (3) $3-\frac{1}{x}<5$;
(4) $\frac{x}{\pi}>0$;
(5) $\frac{x-1}{6}-\frac{3 x+2}{2}<3$;
(6) $x+x y \geqslant y^2 ;$ (7) $x>0$.
A.5个 B.4个 C.6个 D.3个

【例2】如果 $a<b<0$, 那么不等式 $a x<b$ 的解集是（ B ）
A. $x<\frac{b}{a}$
B. $x>\frac{b}{a}$
C. $x<-\frac{b}{a}$
D. $x>-\frac{b}{a}$

【例3】解不等式,并把它们的解集在数轴上表示出来.
(1) $3[x-2(x-2)]>x-3(x-2)$;
(2) $2(y+1)+\frac{y-2}{3}>\frac{7}{2} y-1$.

![图片](/uploads/2022-12/image_2022122937d14e8.png)

【例4】小明上午 8 时 20 分出发去郊游, 10 时 20 分时,小 亮乘车从同一地点出发,已知小明每小时走4千米,那么 小亮要在11时追上或超过小明,速度至少应是多少? 【分析】从路程下手找不等关系:
小亮40分钟行进路程 $\geqslant$ 小明从8时20分到11时行进路程. 解: 设小亮的速度为 $x$ 千米/时, 40 分 $=\frac{2}{3}$ 小时, 列不等式, 得 $\frac{2}{3} x \geq 4\left(2+\frac{2}{3}\right)$, 解得 $x \geqslant 16$.
答: 小亮的速度至少为 16 千米/时.

【例5】已知不等式组 $\left\{\begin{array}{l}x-a \geq 0, \\ -2 x>-4\end{array}\right.$ 有解, 则 $a$ 的取值范围为 ( C )

$$
\begin{array}{llll}
\text { A. } a>-2 & \text { B. } a \geqslant-2 & \text { C. } a<2 & \text { D. } a \geqslant 2
\end{array}
$$

提示: 解不等式 $x-a \geqslant 0$, 得 $x \geqslant a$; 解不等式- $-x>-4$, 得 $x<2$. 因为不等式组有解, 故 2 在 $a$ 的右边, 即 $a<2$.

【例6】不等式组 $\left\{\begin{array}{l}2 x-1>1, \\ -4 x \geqslant-2 x-8\end{array}\right.$ 的所有整数解的和是（9）.
提示: 不等式组的解集是 $1<x \leqslant 4$, 所以整数 $x$ 的 取值为 $2,3,4$.

【例7】一堆玩具分给若干个小朋友, 若每人分 3 件, 则剩余 4 件; 若前面每人分 4 件, 则最后一人得到的 玩具不足 3 件, 求小朋友的人数与玩具数.
解: 设小朋友总共有 $x$ 人, 由此可得不等式组

$$
\left\{\begin{array}{l}
3 x+4-4(x-1) \geqslant 0, \\
3 x+4-4(x-1)<3 .
\end{array}\right.
$$

由此可得 $5<x \leqslant 8$. 因为 $x$ 是整数, 所以 $x=6,7,8$.
答: 小朋友有 6 人, 玩具有 22 件; 或小朋友有 7 人, 玩 具有 25 件; 或小朋友有 8 人, 玩具有 28 件.

【例8】 已知点 $M(3 a-9,1-a)$ 在第三象限, 且它的横、纵坐标 都
是整数, 则 $a$ 的值是（ B )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 0

【例9】关于 $x$ 的不等式 $x-2 a \leqslant 1$ 的解集如图所示, 则 $a$ 的值是 ($-1$).

【例10】  解不等式: $\frac{2 x-1}{3} \geq \frac{5}{4} x-5$,
解: $x \leq 8$

【例11】 解不等式组: $\left\{\begin{array}{c}3 x+1>5-x \\ 2(x+1)-6<x\end{array}\right.$, 并把解集在数轴上表 示出来.
解: $1<x<4$, 在数轴上表示解集略.

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