最后更新: 2025-06-22 20:14 查看: 639 次反馈同步训练

不等式举例

## 不等式性质
一元一次不等式的概念含几个要点：
（1）用不等号连接；
（2）不等号两边都是整式；
（3）只含有一个未知数，且含有未知数的项的最高次数为1.

解不等式一定要把握好基础知识：
①不等式的性质；②去分母，去括号，合并同类项.
熟练掌握并利用这些基础知识解题，保证准确率.

`例`下列式子中, 一元一次不等式有（ $\mathbf{A} ）$
(1) $3 x-1 \geqslant 4$;
(2) $2+3 x>6$; 
(3) $3-\frac{1}{x}<5$;
(4) $\frac{x}{\pi}>0$;
(5) $\frac{x-1}{6}-\frac{3 x+2}{2}<3$;
(6) $x+x y \geqslant y^2 ;$ 
(7) $x>0$.

A.5个 B.4个 C.6个 D.3个

`例`如果 $a<b<0$, 那么不等式 $a x<b$ 的解集是（ B ）
A. $x<\frac{b}{a}$
B. $x>\frac{b}{a}$
C. $x<-\frac{b}{a}$
D. $x>-\frac{b}{a}$

`例`解不等式,并把它们的解集在数轴上表示出来.
(1) $3[x-2(x-2)]>x-3(x-2)$;
(2) $2(y+1)+\frac{y-2}{3}>\frac{7}{2} y-1$.

![图片](/uploads/2022-12/image_2022122937d14e8.png){width=300px}

`例`小明上午 8 时 20 分出发去郊游, 10 时 20 分时,小 亮乘车从同一地点出发,已知小明每小时走4千米,那么 小亮要在11时追上或超过小明,速度至少应是多少?

【分析】从路程下手找不等关系:小亮40分钟行进路程 $\geqslant$ 小明从8时20分到11时行进路程. 
解: 设小亮的速度为 $x$ 千米/时, 40 分 $=\frac{2}{3}$ 小时, 列不等式, 得 $\frac{2}{3} x \geq 4\left(2+\frac{2}{3}\right)$, 解得 $x \geqslant 16$.
答: 小亮的速度至少为 16 千米/时.

`例`已知不等式组 $\left\{\begin{array}{l}x-a \geq 0, \\ -2 x>-4\end{array}\right.$ 有解, 则 $a$ 的取值范围为 ( C )

$$
\begin{array}{llll}
\text { A. } a>-2 & \text { B. } a \geqslant-2 & \text { C. } a<2 & \text { D. } a \geqslant 2
\end{array}
$$

提示: 解不等式 $x-a \geqslant 0$, 得 $x \geqslant a$; 解不等式- $-x>-4$, 得 $x<2$. 因为不等式组有解, 故 2 在 $a$ 的右边, 即 $a<2$.

`例`不等式组 $\left\{\begin{array}{l}2 x-1>1, \\ -4 x \geqslant-2 x-8\end{array}\right.$ 的所有整数解的和是（9）.
提示: 不等式组的解集是 $1<x \leqslant 4$, 所以整数 $x$ 的 取值为 $2,3,4$.

`例`一堆玩具分给若干个小朋友, 若每人分 3 件, 则剩余 4 件; 若前面每人分 4 件, 则最后一人得到的 玩具不足 3 件, 求小朋友的人数与玩具数.
解: 设小朋友总共有 $x$ 人, 由此可得不等式组

$$
\left\{\begin{array}{l}
3 x+4-4(x-1) \geqslant 0, \\
3 x+4-4(x-1)<3 .
\end{array}\right.
$$

由此可得 $5<x \leqslant 8$. 因为 $x$ 是整数, 所以 $x=6,7,8$.
答: 小朋友有 6 人, 玩具有 22 件; 或小朋友有 7 人, 玩 具有 25 件; 或小朋友有 8 人, 玩具有 28 件.

`例` 已知点 $M(3 a-9,1-a)$ 在第三象限, 且它的横、纵坐标 都
是整数, 则 $a$ 的值是（ B )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 0

`例` 解不等式: $\frac{2 x-1}{3} \geq \frac{5}{4} x-5$,
解: $x \leq 8$

`例` 解不等式组: $\left\{\begin{array}{c}3 x+1>5-x \\ 2(x+1)-6<x\end{array}\right.$, 并把解集在数轴上表 示出来.
解: $1<x<4$, 在数轴上表示解集 略.

`例` 已知不等式 $\frac{a+x}{2} \geqslant \frac{a x-1}{3}$ 的解集为 $x \leqslant 8$ ，试确定 $a$ 的值．

解：将 $x=8$ 代入方程 $\frac{a+x}{2}=\frac{a x-1}{3}$ ，得 $\frac{a+8}{2}=\frac{8 a-1}{3}$ ，即 $3 a+24=16 a-2$ ， $\therefore \quad a=2$ ．

## 竞赛中的不等式技巧
改变变量是一个非常有用的技巧，通常可以大大简化问题．一个有用的代换是当 $a, b, c$ 满足 $a b c=1$ 时，存在实数 $x, y, z$ ，使得 $a=\frac{x}{y}, b=\frac{y}{z}, c=\frac{z}{x}$ 。考虑下面的例子。

`例`设 $a, b, c$ 是正实数，满足 $a b c=1$ ．证明

$$
\frac{a}{a b+1}+\frac{b}{b c+1}+\frac{c}{c a+1} \geqslant \frac{3}{2}
$$

证明 做代换 $a=\frac{x}{y}, b=\frac{y}{z}, c=\frac{z}{x}$ ，则不等式变成

$$
\frac{\frac{x}{y}}{\frac{x}{z}+1}+\frac{\frac{y}{z}}{\frac{y}{x}+1}+\frac{\frac{z}{x}}{\frac{z}{y}+1} \geqslant \frac{3}{2}
$$

整理得

$$
\frac{z x}{x y+y z}+\frac{x y}{y z+z x}+\frac{y z}{z x+x y} \geqslant \frac{3}{2}
$$

这正是关于变量 $x y, y z, z x$ 的 Nes bitt 不等式，证毕．

其他有用的代换，例如，当 $a+b+c+2=a b c$ 时，我们令 $a=\frac{y+z}{x}, b=\frac{z+x}{y}, c=$ $\frac{x+y}{z}$ ．这是由于等式 $a+b+c+2=a b c$ 可以改写成

$$
\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=1
$$

其证明就是一个计算问题，作为练习留给读者．现在，令
$$
x=\frac{1}{1+a}, y=\frac{1}{1+b}, z=\frac{1}{1+c}
$$

由于 $x+y+z=1$ 以及 $a=\frac{1-x}{x}$ ，所以 $a=\frac{y+z}{x}$ ．类似可得 $b=\frac{z+x}{y}, c=\frac{x+y}{z}$ ．相反的 （即代换满足的关系），就是一个简单的计算问题，也作为练习留给读者．

`例` 设 $a, b, c>0$ ，满足 $a+b+c+2=a b c$ 。证明

$$
\frac{a}{b+1}+\frac{b}{c+1}+\frac{c}{a+1} \geqslant 2
$$

证法 1 做代换 $a=\frac{y+z}{x}, b=\frac{z+x}{y}, c=\frac{x+y}{z}$ ，所证不等式的左边变成

$$
\sum_{\text {cyc }} \frac{\frac{y+z}{x}}{\frac{z+x}{y}+1}=\sum_{\text {cyc }} \frac{y^2+y z}{x z+x^2+x y}=\frac{1}{x+y+z} \sum_{\text {cyc }} \frac{y^2+y z}{x}
$$

这样，只需证明

$$
\sum_{cyc} \frac{y^2+y z}{x} \geqslant 2(x+y+z)
$$

这可以通过证明下面两个不等式得到

$$
\begin{aligned}
& \frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{y}+\frac{x^2}{z} \geqslant x+y+z \\
& \frac{y z}{x}+\frac{z x}{y}+\frac{x y}{z} \geqslant x+y+z
\end{aligned}
$$

然后使用Titu引理

`例` 求出所有的实数三元组 $(x, y, z)$ ，使得满足 $x+y+z+2=x y z$ 和 $x y+$ $y z+z x=12$ ．

解 我们首先做代换 $x=\frac{b+c}{a}, y=\frac{c+a}{b}, z=\frac{a+b}{c}$ ．则第二个方程变成

$$
\begin{aligned}
x y+y z+z x & =\frac{(b+c)(c+a)}{a b}+\frac{(c+a)(a+b)}{b c}+\frac{(a+b)(b+c)}{c a} \\
& =\frac{a b+b c+c a+c^2}{a b}+\frac{a b+b c+c a+a^2}{b c}+\frac{a b+b c+c a+b^2}{c a} \\
& =3+\frac{a^3+b^3+c^3+a^2 b+a b^2+b^2 c+b c^2+c^2 a+c a^2}{a b c}=12
\end{aligned}
$$

重新安排项的顺序，则方程变成

$$
a^3+b^3+c^3+a^2 b+a b^2+b^2 c+b c^2+c^2 a+c a^2=9 a b c
$$

这正是 9 项 AM－GM 不等式等号成立的情况，这样，必有 $a=b=c$ ，所以只有一组解：$x=$ $y=z=2$ ．

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