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初中数学
第五章 几何基本概念(欧氏几何)
点线面体与欧氏几何
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2025-04-14 09:28
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点线面体与欧氏几何
几何学是研究“空间”的形体和性质的科学.“空间”就是我们和万物以至星象天体共存的所在.在日常生活中,我们举目四望所见到的地方,都是空间的一部分.同学们在小学数学课中学过的柱体、锥体、球体等等,它们都各自占有空间的一部分,并且构成不同的形体.各种形体的种种性质,如各部分的长度、角度、面积,以及体积等等.都是在我们的生活和生产实践中所不可缺少的知识. 自古以来,人们经过实践、观察、分析,已总结出一系列的有关空间方面的知识,例如,从中国、埃及、巴比伦、玛雅等古文明中,可以看出对空间的知识都已掌握得相当丰富了.对于空间知识有系统的研究,从西方的古文明中可知,起始于古埃及和巴比仑,而在古希腊得到蓬勃的发展,获得较辉煌的成就.大体说来,古希腊在空间知识方面的成就,由欧几里得集其大成于他所著的《几何原本》所著。 ## 几何原本 欧几里得所著的《几何原本》被认为是线代几何的始祖,他说建立在下面 五条公理的基础上的。 1.过相异两点,能作且只能作一直线(直线公理)。 2.线段(有限直线)可以任意地延长。 3.以任一点为圆心、任意长为半径,可作一圆(圆公理)。 4.凡是直角都相等(角公理)。 5.两直线被第三条直线所截,如果同侧两内角和小于两个直角, 则两直线则会在该侧相交。 以欧几里得的理论建立的几何称为欧氏几何,在初中,高中阶段都以该几何为主,因此被广泛的成为**欧氏几何**。 ## 延伸阅读:《几何原本》第五公设与菲欧几何 上面前四条都比较明显,唯独第五条后世数学家对此有异议。第五条的另外一个说法是:过直线外一点,可作且只可作一直线跟此直线平行。 长期以来,数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来,显得文字叙述冗长,而且也不那么显而易见。有些数学家还注意到欧几里得在《几何原本》一书中直到第29个命题中才用到,而且以后再也没有使用。也就是说,在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前28个命题。因此,一些数学家提出,第五公设能不能不作为公设,而作为定理?能不能依靠前四个公设来证明第五公设?这就是几何发展史上最著名的,争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。由于证明第五公设的问题始终得不到解决,人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对?第五公设到底能不能证明?并由此产生了**罗氏几何**,**黎曼几何**等。 
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