最后更新: 2025-06-21 17:45 查看: 850 次反馈同步训练

点线面体与欧氏几何

几何学是研究“空间”的形体和性质的科学．“空间”就是我们和万物以至星象天体共存的所在．在日常生活中，我们举目四望所见到的地方，都是空间的一部分．同学们在小学数学课中学过的柱体、锥体、球体等等，它们都各自占有空间的一部分，并且构成不同的形体．各种形体的种种性质，如各部分的长度、角度、面积，以及体积等等．都是在我们的生活和生产实践中所不可缺少的知识．

自古以来，人们经过实践、观察、分析，已总结出一系列的有关空间方面的知识，例如，从中国、埃及、巴比伦、玛雅等古文明中，可以看出对空间的知识都已掌握得相当丰富了．对于空间知识有系统的研究，从西方的古文明中可知，起始于古埃及和巴比仑，而在古希腊得到蓬勃的发展，获得较辉煌的成就．大体说来，古希腊在空间知识方面的成就，由欧几里得集其大成于他所著的《几何原本》所著。

## 欧几里得
欧几里得（Euclid，约公元前325年—公元前265年）是古希腊数学家，以其所著的《几何原本》（简称《原本》）闻名于世。曾受业于柏拉图学园。后应埃及托勒密国王邀请，从雅典移居亚历山大，从事数学教学和研究工作。他一生治学严谨。所著《几何原本》共13卷，是世界上最早公理化的数学著作，影响着历代科学文化的发展和科技人才的培养。

![图片](/uploads/2023-10/f9560c.jpg){width=200px}

欧几里得通过5条公理和5条公设并基于点线面公设推导出整个的二维平面和三维空间中的几何，因此，欧几里得几何也被称为“**欧氏几何**”。 关于欧几里得的介绍请参考 [此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=641)

## 几何原本五大公设
欧几里得所著的《几何原本》被认为是线代几何的始祖，他说建立在下面
五条公理的基础上的。

>1.过相异两点，能作且只能作一直线（直线公理）。
2.线段(有限直线)可以任意地延长。
3.以任一点为圆心、任意长为半径，可作一圆(圆公理)。
4.凡是直角都相等(角公理)。
5.两直线被第三条直线所截，如果同侧两内角和小于两个直角， 则两直线则会在该侧相交。

这五大公理也叫五大公设，意思是这5大公理是“公认的道理”，不需要证明的。然后由着五大公理搭建起整个几何体系。 以欧几里得的理论建立的几何称为欧氏几何，在初中，高中阶段都以该几何为主，因此被广泛的成为**欧氏几何**。

## 认识简单几何体
下图显示了平面几何体：长方体、圆和三角形
 ![图片](/uploads/2025-06/0829fe.jpg)
 
 
下图显示了立体几何体：长方体、圆柱、四棱锥和圆锥
 ![图片](/uploads/2025-06/921b3d.jpg)

## 延伸阅读：《几何原本》第五公设与菲欧几何

上面前四条都比较明显，唯独第五条后世数学家对此有异议。第五条的另外一个等价说法是：**过直线外一点，可作且只可作一直线跟此直线平行**。

长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。有些数学家还注意到欧几里得在《几何原本》一书中直到第29个命题中才用到，而且以后再也没有使用。也就是说，在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前28个命题。因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对？第五公设到底能不能证明？并由此产生了**罗氏几何**，**黎曼几何**等。

![图片](/uploads/2024-04/3db218.jpg){width=500px}

以三角形内角和为例，在欧氏几何里，三角形内角和为$180^{circ}$， 而在 罗氏几何里，三角形内角和小于$180^{circ}$，在黎曼几何里，三角形内角和大于 $180^{circ}$

![图片](/uploads/2025-06/4a7ca3.jpg){width=500px}

特别是黎曼几何，在黎曼几何里，可以推导出时空弯曲，爱因斯坦在研究黎曼几何的基础性上发现，因为太阳对周围物体的作用，使得光线经过太阳后会产生弯曲，这从根本上否决了几千年来人民一直认为的“光线直线传播”的理论。

![图片](/uploads/2025-06/dfade0.jpg){width=500px}

并且，提出了时空完全的说法，即太阳对地球有万有引力的本质是:时空弯曲造成的。如下图，想象在一个钢丝床上放一个重球太阳，因为，在重球周围形成凹下去的空间，地球绕着空间旋转。

![图片](/uploads/2025-06/07216d.jpg){width=500px}

> **目前整个初中阶段，所研究的几何都是欧氏几何。**

初中20讲高中100讲高数35讲高数10讲线代19讲概率14讲复变50讲高物100讲

非会员每天3篇，会员每天13篇，VIP会员无限查看扫码注册开通VIP 赞助

上一篇：没有了

下一篇：三视图

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)