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点线面体与欧氏几何

几何学是研究“空间”的形体和性质的科学．“空间”就是我们和万物以至星象天体共存的所在．在日常生活中，我们举目四望所见到的地方，都是空间的一部分．同学们在小学数学课中学过的柱体、锥体、球体等等，它们都各自占有空间的一部分，并且构成不同的形体．各种形体的种种性质，如各部分的长度、角度、面积，以及体积等等．都是在我们的生活和生产实践中所不可缺少的知识．

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自古以来，人们经过实践、观察、分析，已总结出一系列的有关空间方面的知识，例如，从中国、埃及、巴比伦、玛雅等古文明中，可以看出对空间的知识都已掌握得相当丰富了．对于空间知识有系统的研究，从西方的古文明中可知，起始于古埃及和巴比仑，而在古希腊得到蓬勃的发展，获得较辉煌的成就．大体说来，古希腊在空间知识方面的成就，由欧几里得集其大成于他所著的《几何原本》所著。

##  点、直线和平面
点、直线和平面是空间最简单的，也是最基本的图形。同学们在日常生活中，对它们早已有直观的认识了．在这一节里，我们再对它们的本质和相互关系作进一步的分析，确立点、直线和平面这三个基本的几何概念，并总结点、直线和平面之间相互关系方面的一些基本性质。

### 一、点和直线
在空间，最原始的，也是最基本的概念就是＂位置＂．通常，我们就用＂点＂来标记＂位置＂．例如在一张地图上，我们就以小圆点来标记各地的位置（见图 1.2 ）．你可能发现，在地图上北京用＂$\star$＂，南京用＂◯＂印制的，这只是为了把首都和地方城市区别开来。其实，北京、南京的．＂位置＂与地图上印制的图形 ＂↑＂或＂◯＂的形状和大小是没有关系的．这样，仅仅考虑＂位置＂，的图形就是点．在天象图上也是以小圆点来标记各星体的位置的（见图 1．3）

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 在几何学的讨论中，我们用不同的大写字母 $A, B, C, \ldots$ 表示不同的点，如图1．4中的五个点，就在点旁分别标记以 $A 、 B 、 C 、 D 、 E$ ，并分别读作点 $A$ 、点 $B$ 、点 $C$ 、点 $D$ 、点 $E$ ．
 
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在日常生活中，我们经常需要从一个地方走到另一个地方。例如，同学们早起上学，就得由自己的家所在的位置走到学校所在的位置。因此，在空间第二个原始的基本概念就要算是＂通路＂了。 所谓＂通路＂，就是从一个位置移到另一个位置的路线．通常在地图上，我们用线来标记各地之间的种种通路，如铁路、公路等．在几何学的讨论中，＂线＂就是表示通路的．它的直观含义就是：一个＂动点＂由一个位置移动到另一个位置所走过的＂路线＂．如图 1.5 所示，设 $A 、 B$ 两点分别表示空间的两个位置，那么连结 $A 、 B$ 两点的可能通路是很多很多的．

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在通常情况下，大家都希望所要走的通路愈短愈好，所以很自然的问题就是：
＂在所有连结 $A 、 B$ 两点的各种通路中，哪一条通路最短？＂
光线的存在，直截了当地显示给我们下述空间的基本性质：
＂连结 $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B}$ 两点的最短通路唯一存在，它就是连结 $A 、 B$ 两点的直线段＂（在均匀介质中，光走直线 ）．

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如图 1.6 所示，由 $A$ 点射向 $B$ 点的光线可以由 $A$ 向 $B$ 的方向无限延伸；而由 $B$ 点射向 $A$ 点的光线也可以由 $B$ 向 $A$ 的方向无限延伸，所以对于空间任意两点 $A 、 B$ ，不但存在着唯一的最短通路＂直线段 $A B$＂，而且也唯一地确定了一条把直线段 $A B$ 两端无限延长的直线，这条直线就叫做由 $A 、 B$ 两点所确定的直线，通常称为＂直线 $A B$＂，而直线段 $A B$ 是直线 $A B$ 介于 $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B}$ 两点之间的那一段。

归纳上面的讨论，我们可以作出如下的总结：
1．＂位置＂和＂通路＂是两个最原始的空间概念．在几何学中，以点表示位置，以线表示通路．

2．对于任何两点 $A 、 B$ ，在所有连结、 $A B$ 的可能通路中，存在唯一的最短通路，就是连结 $A 、 B$ 两点的直线段．

直线段 $A B$ 也简称线段 $A B$ ，以后我们用符号 $\overline{A B}$ 表示线段 $A B$ ．点 $A$ ，点 $B$ 叫做线段 $A B$ 的**端点**．有时，一条线段也可以用一个小写字母来表示，例如线段 $a$ 、线段 $b$ 等（图 1．7（1））．

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把 $\overline{A B}$ 放在 $\overline{A^{\prime} B^{\prime}}$ 上面，使点 $A$ 和点 $A^{\prime}$ 重合，$\overline{A B}$ 沿着 $\overline{A^{\prime} B^{\prime}}$ 方向落下，那么有以下三种可能情况：

1．点 $B$ 和点 $B^{\prime}$ 重合，这时 $\overline{A B}=\overline{A^{\prime} B^{\prime}}$（图 1．7（2））；
2 ．点 $B$ 落在 $A^{\prime}$ 和 $B^{\prime}$ 之间，这时 $\overline{A B}<\overline{A^{\prime} B^{\prime}}$（图 1．7（3））；
3．点 $B$ 落在 $\overline{A^{\prime} B^{\prime}}$ 的延长线上，这时 $\overline{A B}>\overline{A^{\prime} B^{\prime}}$（图 1．7（4））．
有一根拉直的绳子 $\overline{A B}$ ，如果把它分成长度相等的两段．但是不许用尺来量，应怎么办？

同学们一定会想到，把绳子 $\overline{A B}$ 的两端点 $A 、 B$ 重叠在一起，并且把绳子拉直，那么在绳子的中间就折出一个 $C$ 点来（图1．8（2）），而被折成的两段绳子 $\overline{A C}$ 和 $\overline{C B}$ 恰好长度相等，这就是说 $C$ 点把 $\overline{A B}$ 平分了．所以我们把平分线段的点叫做线段的中点．如果点 $C$ 是 $\overline{A B}$ 的**中点**，则 $\overline{A B}=2 \overline{A C}=2 \overline{C B}$ ．

![图片](/uploads/2026-04/6a2d91.jpg)

`例`已知 $\overline{A B}=24$ 厘米，点 $C$ 在 $\overline{A B}$ 上，点 $M 、 N$ 分别是 $\overline{A C}$ 和 $\overline{C B}$的中点，求 $\overline{M N}$ 的长度（见图1．9）．

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 解：

$$
\begin{aligned}
\overline{M N} & =\overline{M C}+\overline{C N}=\frac{1}{2} \overline{A C}+\frac{1}{2} \overline{C B} \\
& =\frac{1}{2}(\overline{A C}+\overline{C B})=\frac{1}{2} \overline{A B}=12 \text { 厘米 }
\end{aligned}
$$

3．线段可以向两端无限延长，这样就得到一条直线．一条直线可以用表示它上面任意两点的大写字母来表示，如直线 $C D$ ．有时为了简便，也可以在这条直线旁标以一个小写字母，如 $\ell$ ，表示成直线 $\ell$（图1．10）．

![图片](/uploads/2026-04/41c1b3.jpg)

4．对于任何两点 $A 、 B$ ，都存在着唯一一条通过 $A 、 B$ 的直线．这个性质就简述为：**两点确定一条直线**．

`例` 如果两条直线 $\ell$ 和 $m$ 有一个公共点（交点）$A$（图 1．11），它们还能有其它的公共点吗？为什么？

![图片](/uploads/2026-04/3ebe5d.jpg)

解：除 $A$ 点外，直线 $\ell$ 和 $m$ 不能再有其它的公共点了．
因为，如果还有另一个公共点 $B$ ，那么，$\ell$ 和 $m$ 就都是通过 $A 、 B$ 两点的直线．但是通过 $A 、 B$ 两点只有唯一的一条直线，于是，$\ell$ 和 $m$ 就是通过 $A$ 、$B$ 两点的那条唯一的直线，它们就不是两条不同的直线了．所以，它们除了 $A$点外，不可能再有其它的公共点了。

> **这件事实可以简述为：两条相交直线确定一交点**．

`例`图1．12表示人和物之间放一隔板，使人不能直接看到物的示意图，$A$表示物，$E$ 表示人眼，$\overline{B C}$ 表示隔板。为了能看见物的形象，放置一面镜子，图中 $g$ 表示镜面，这时按图1．12（1）中隔板 $\overline{B C}$ 的位置来说，人眼 $E$ 便能看见物 A 的形象，这是为什么？但按图 1．12（2）隔板 $\overline{B C}$ 的位置来说，人眼 $E$ 便不能看到物 $A$ 的形象，这又是为什么？

![图片](/uploads/2026-04/df0f21.jpg)
 
 解：按照镜面映象的道理，人眼 $E$ 是从入射线 $A D$ 和反射线 $D E$ 看见 $A$ 的形象的，而点 $D$ 是点 $E$ 和点 $A$ 的象 $A^{\prime}$ 的连线 $E A^{\prime}$ 和 $g$ 的交点，所以 $A$ 的象 $A^{\prime}$ 是沿着直线 $A^{\prime} E$ 映人人眼 $E$ 的．因为通过 $A^{\prime}$ 和 $E$ 只有唯一的一条直线，于是 $A^{\prime} E$ 和隔板 $\overline{B C}$ 不交（图1．12（1））时，在 $E$ 处就看得见 $A$ 的象 $A^{\prime}$ ， $A^{\prime} E$ 和 $\overline{B C}$ 相交，也就是被隔板 $\overline{B C}$ 挡住（图1．12（2））时，在 $E$ 处便看不见 $A$ 的象 $A^{\prime}$ 了．

`例` 如果在已知 $\overline{A B}$ 上依次取 99 个点 $\left(C_1, C_2, C_3, \ldots, C_{99}\right)$ ，那么 $\overline{A B}$ 上一共有多少条以这些点为端点的线段？（ $\overline{A B}$ 也计算在内）

解：我们分以下几步来研究这个问题：
第一，先进行观察、实验．因为每两个点就确定一条线段．因此，
1．在 $\overline{A B}$ 上取一个点 $C_1$ 时，我们看到图 1．13（1）中共有 3 条线段 $\overline{A B} 、 \overline{A C_1}$和 $\overline{C_1 B}$ ．

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 2．在 $\overline{A B}$ 上取两个点 $C_1 、 C_2$ 时，我们看到图 1．13（2）中共有 6 条线段 $\overline{A B}$ 、 $\overline{A C_1} 、 \overline{C_1 B} 、 \overline{A C_2} 、 \overline{C_2 B}$ 和 $\overline{C_1 C_2}$ ．

3．在 $\overline{A B}$ 上取三个点 $C_1 、 C_2 、 C_3$ 时，我们看到图 1．13（3）中有 10 条线段 （请同学们自己找出来）．

第二，列表分析找规律

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 从表上发现：
- 在 $\overline{A B}$ 上取 1 个点时，$\overline{A B}$ 上的线段总数 $3=1+2$ ，
- 在 $\overline{A B}$ 上取 2 个点时，$\overline{A B}$ 上的线段总数 $6=1+2+3$ ，
- 在 $\overline{A B}$ 上取 3 个点时，$\overline{A B}$ 上的线段总数 $10=1+2+3+4$ ．

这时，如果在 $\overline{A B}$ 上取 4 个点，那么 $\overline{A B}$ 上共有多少条线段呢？由上面发现的规律，可以猜想是 $1+2+3+4+5=15$ ，数一下图 1．13（4）中的线段数，恰好是 15 条．这样自然要问：当在 $\overline{A B}$ 上取 99 个点时，将会有怎样的结果呢？

第三，归纳、计算
如果在 $\overline{A B}$ 上取 99 个点，设这时 $\overline{A B}$ 上的线段总数为 $S$ ，由在第二中发现的规律，不难得出：

$$
S=1+2+3+4 \cdots+(99+1)=1+2+3+4 \cdots+100
$$

这是一个很有趣的计算题，如果按顺序加起来，计算是很麻烦的，我们动动脑筋能否有简便的计算方法呢？

由于 $S=1+2+3+\cdots+98+99+100$ ，也就是：

$$
\begin{aligned}
& S=100+99+98+\cdots+3+2+1 \\
& \therefore \quad 2 S=\underbrace{101+101+101 \cdots+101+101+101}_{100 \text { 项 }}=100 \times 101 \\
& \quad \therefore \quad S=\frac{100 \times 101}{2}=5050
\end{aligned}
$$

## 欧几里得
欧几里得（Euclid，约公元前325年—公元前265年）是古希腊数学家，以其所著的《几何原本》（简称《原本》）闻名于世。曾受业于柏拉图学园。后应埃及托勒密国王邀请，从雅典移居亚历山大，从事数学教学和研究工作。他一生治学严谨。所著《几何原本》共13卷，是世界上最早公理化的数学著作，影响着历代科学文化的发展和科技人才的培养。

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欧几里得通过5条公理和5条公设并基于点线面公设推导出整个的二维平面和三维空间中的几何，因此，欧几里得几何也被称为“**欧氏几何**”。 关于欧几里得的介绍请参考 [此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=641)

## 几何原本五大公设
欧几里得所著的《几何原本》被认为是线代几何的始祖，他说建立在下面
五条公理的基础上的。

>1.过相异两点，能作且只能作一直线（直线公理）。
2.线段(有限直线)可以任意地延长。
3.以任一点为圆心、任意长为半径，可作一圆(圆公理)。
4.凡是直角都相等(角公理)。
5.两直线被第三条直线所截，如果同侧两内角和小于两个直角， 则两直线则会在该侧相交。

这五大公理也叫五大公设，意思是这5大公理是“公认的道理”，不需要证明的。然后由着五大公理搭建起整个几何体系。 以欧几里得的理论建立的几何称为欧氏几何，在初中，高中阶段都以该几何为主，因此被广泛的成为**欧氏几何**。

## 认识简单几何体
下图显示了平面几何体：长方体、圆和三角形
 ![图片](/uploads/2025-06/0829fe.jpg)
 
 
下图显示了立体几何体：长方体、圆柱、四棱锥和圆锥
 ![图片](/uploads/2025-06/921b3d.jpg)

## 延伸阅读：《几何原本》第五公设与菲欧几何

上面前四条都比较明显，唯独第五条后世数学家对此有异议。第五条的另外一个等价说法是：**过直线外一点，可作且只可作一直线跟此直线平行**。

长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。有些数学家还注意到欧几里得在《几何原本》一书中直到第29个命题中才用到，而且以后再也没有使用。也就是说，在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前28个命题。因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对？第五公设到底能不能证明？并由此产生了**罗氏几何**，**黎曼几何**等。

![图片](/uploads/2024-04/3db218.jpg){width=500px}

以三角形内角和为例，在欧氏几何里，三角形内角和为$180^{circ}$， 而在 罗氏几何里，三角形内角和小于$180^{circ}$，在黎曼几何里，三角形内角和大于 $180^{circ}$

![图片](/uploads/2025-06/4a7ca3.jpg){width=500px}

特别是黎曼几何，在黎曼几何里，可以推导出时空弯曲，爱因斯坦在研究黎曼几何的基础性上发现，因为太阳对周围物体的作用，使得光线经过太阳后会产生弯曲，这从根本上否决了几千年来人民一直认为的“光线直线传播”的理论。

![图片](/uploads/2025-06/dfade0.jpg){width=500px}

并且，提出了时空完全的说法，即太阳对地球有万有引力的本质是:时空弯曲造成的。如下图，想象在一个钢丝床上放一个重球太阳，因为，在重球周围形成凹下去的空间，地球绕着空间旋转。

![图片](/uploads/2025-06/07216d.jpg){width=500px}

> **目前整个初中阶段，所研究的几何都是欧氏几何。**
 
 
 ## 数学史话 ＂几何＂的由来
人类早期对几何图形的认识和研究，是由于生产和生活的需要．几何的起源，在国外可追溯到公元前 3000 年的古埃及．由于尼罗河泛滥成灾，经常要测量被河水冲毁了的土地，这便逐步产生了几何图形的知识．埃及文化传入希腊后，公元前 300 年左右，希腊数学家欧几里得（Euclid）在泰勒斯（Thales）、毕达哥拉斯 （Pythagoras）等前人工作基础上，结合自己的发现，把当时已有的数学内容，归纳整理写出了一本包括 13 卷的巨著——Elements （《原本》）。在这本书里，对几何图形性质的研究，是从一些基本定义和尽可能少的几条不言而喻的、一致公认的基本事实（称为公理）出发，运用逻辑推理的方法，推演出内容丰富、准确可靠的几何学．从此使几何学成为一门系统演绎的科学。《原本》包括有5条公理、5条公设（现代数学已不区分公设与公理，都称之为公理）、 119 个定义和 465 条命题，构成了历史上第一个数学公理体系，它是一部划时代的数学巨著，影响遍及整个科学领域．
1607年，我国明代科学家徐光启和意大利传教士利玛窦 （Matteo Ricci）合作，把该书的前 6 卷翻译成中文，取名《几何原本》。书名所加的＂几何＂两字，出自拉丁文 Geometry（Geo 指土地， metry 指测量）中 Geo 的音译，＂几何＂在中文里还有＂多少＂的含义．这样，音义兼顾，十分贴切、巧妙．

我国古代的许多著作如《墨经》、《周髀算经》、《九章算术》中记载了大量的图形知识和处理几何问题的方法． 1952 年我国考古学家在陕西省西安市半坡村发现一处距今约六七千年的氏族部落的遗址，表明当时已经会建造圆锥形或长方体形的房屋（图 4－39）。1953年在安徽灵璧和浙江嘉兴发现的新石器时代的遗址，挖掘出不少碎陶片，上面就有方格、米字、回字等几何图案（图 4－40）．在考古中还发现，公元前 2 世纪时的浮雕中就有伏羲执矩（曲尺）、女娲执规（圆规）的画像（图4－41），说明我国古代很早就会使用规和矩，并在实际中运用几何知识了。

![图片](/uploads/2026-04/33737c.jpg)

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