三角变换恒等式

日期: 2022-11-13 08:11 查看: 252 次

三角函数包含了大量恒等式变形，本文给出了\( \sin,\cos,\tan,\cot,\sec,\csc \) ,但是高考只要求记住\( \sin,\cos,\tan \) .
01.定义式
各个公式定义如下：
<img src="../uploads/2022-10/c43bef.jpg">
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02.基本关系
下表列出了三角函数之间变化的关系，每一个函数都可以用另外5个函数表示。请注意
（1）高考主要以正弦、余弦和正切为主。
（2）每一个开方前面应该都有\( \pm \) 号。
<img src="../uploads/2022-10/b5f995.jpg">
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03. 诱导公式
诱导公式是指三角函数中，利用三角函数周期性的特点将角度比较大的三角函数转换为角度比较小的三角函数的公式。全国高考大纲中只考 \( \sin, \cos, \tan \) 。
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<img src="../uploads/2022-10/34b22e.jpg">
在实际教学中，老师通常使用如下口诀让学生记忆：奇变偶不变，符号看象限”。 意思为，当k为奇数时,sin 变cos，cos变sin，tan变cot，cot变tan，sec变csc，csc变sec。当k为偶数时，三角函数则不变。对于正负号，要看最后角所在的象限。
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04. 角的和差等式
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注意上面正负号的对应，参考下图进行记忆。
<img src="../uploads/2022-10/f2babf.svg">
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05.积化和差与和差化积
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下图给出了几何意义。
<img src="../uploads/2022-10/0af06d.svg" width="400px">
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06.双倍角、三倍角和半角公式
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参考下图解释了正弦2倍角的意义，方便记忆，根据面积相等可以推出（见下面证明）。
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07.降幂公式
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下图解释了cos，sina角度的意义。
<img src="../uploads/2022-10/1e4d2a.svg" width="250px"> <img src="../uploads/2022-10/5112d0.svg" width="250px">
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09 辅助角公式
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10.万能公式
万能公式的意思是任何一个函数，都可以使用 \( \tan \dfrac{a}{2} \) &nbsp;表示
<img src="../uploads/2022-10/2ccd27.jpg">
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11.反三角函数
<img src="../uploads/2022-10/54623b.jpg">
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证明：\( \sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \) 
证法一：
画一条水平线(即\( x \) 轴)；标记原点为\( O \) 。从\( O \) 以\( OA \) 为始边画一个角度为\( \alpha \) 的线，然后以\( \alpha \) 为终边为始边画一个角度为\( \beta \) 的线。
则第二条线和\( x \) 轴的夹角就是 \( \alpha +\beta \) 
在\( \beta \) 的终点线段上取一点\( P \) ，使得\( |OP|=1 \) ，设\( PQ \) 是一条垂直于\( OQ \) 的线，\( PB \) 垂直于\( OA \) 于\( B \) 
\( QR \) 垂直于\( PB \) 于\( R \) ，则
\( \begin{aligned} &amp;R P Q=\frac{\pi}{2}-R Q P= \\ &amp;\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{2}-R Q O\right)=R Q O=\alpha \\ &amp;O P=1 \\ &amp;P Q=\sin \beta \\ &amp;O Q=\cos \beta \\ &amp;\frac{A Q}{O Q}=\sin \alpha, \text { 所以 } A Q=\sin \alpha \cos \beta \\ &amp;\frac{P R}{P Q}=\cos \alpha, \text { 所以} P R=\cos \alpha \sin \beta \\ &amp;\sin (\alpha+\beta)=P B=R B+P R=A Q+P R=\\ &amp;\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta \end{aligned} \) 
由此得到：
\( \sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \) &nbsp;
利用 \( -\beta \) 替换\( \beta \) &nbsp;同时考虑函数的奇偶性，可以得到：
\( \sin (\alpha-\beta)=\sin \alpha \cos \beta-\cos \alpha \sin \beta \) 
<img src="../uploads/2022-10/5561b8.svg" width="300px">
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证明二：欧拉公式法。
注意：由于欧拉公式的证明过程中使用了棣莫弗公式，而棣莫弗公式的证明过程中使用了和差化积公式，故使用欧拉公式证明和差化积会造成循环论证，故而下列方法仅为检验方法，而非严谨的证明方法。但是使用此方便特别容易记忆。
欧拉公式指：\( e^{i x}=\cos x+i \sin x \) 
令\( x=\alpha \) 和\( x=\beta \) &nbsp;则有：
\( e^{i \alpha}=\cos \alpha+i \sin \alpha ...(1) \) 
\( e^{i \beta}=\cos \beta+i \sin \beta ...(2) \) 
令\( x=\alpha+\beta \) 则有
\( \begin{aligned} &amp;e^{i(\alpha+\beta)}=\cos (\alpha+\beta)+i \sin (\alpha+\beta)=e^{i \alpha+i \beta}\\ &amp;=e^{i \alpha} \times e^{i \beta}\\ &amp;=(\cos \alpha+i \sin \alpha) \times(\cos \beta+i \sin \beta)\\ &amp;=(\cos \alpha \times \cos \beta+i \sin \alpha \times i \sin \beta)+(i \sin \alpha \times \cos \beta+\cos \alpha \times i \sin \beta)\\ &amp;=(\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta)+i(\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta)\\ \end{aligned} \) 
实部等于实部，虚部等于虚部，因此
\( \cos (\alpha+\beta)=\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta \) 
\( \sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta \) 
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典型例题
1.已知\( \sin \theta= -\dfrac{4}{5} \) ,求\( \sin \dfrac{\theta}{2} \) ,\( \theta \) &nbsp;为第四象限的角。
解：\( \sin \theta= -\dfrac{4}{5} \) ， 所以 \( \cos \theta= \dfrac{3}{5} \) ,&nbsp; &nbsp;且\( \dfrac{\theta}{2} \) 为第二或者第四象限的角
所以&nbsp;\( \sin \dfrac{\theta}{2}=\pm \sqrt{\dfrac{1-\cos \theta}{2}} \) =\( \pm \dfrac{\sqrt{5}}{5} \) 
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2.证明：\( \sin 2 \theta =2 \sin \theta \cos \theta \) 
证：根据&nbsp;<a href="../kbase/lists.aspx?kid=42" target="_blank" rel="noopener">两角和与两角差</a>恒等式，有
\( \sin (\alpha +\beta)=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \) 
令\( \alpha=\beta \) ,&nbsp; 则有 \( \sin 2 \theta =2 \sin \theta \cos \theta \) 
<img src="../uploads/2022-10/fc0bdd.jpg" width="350px">
上图解释了2倍角公式的几何意义。在左图中，三角形的面积为
\( S_1=\dfrac{1}{2} (sin \theta + sin \theta) * \cos \theta =\sin \theta cos \theta \) 
将此三角形旋转180度，则有三角形面积为
\( S_2=\dfrac{1}{2} *1 * \sin {2\theta} \) =\( \dfrac{1}{2} \sin {2\theta} \) 
因为 \( S_1=S_2 \) 
所以 \( \sin \theta cos \theta = \dfrac{1}{2} \sin {2\theta} \) &nbsp;即
\( \sin 2 \theta =2 \sin \theta \cos \theta \) 
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3.已知 \( \tan 2 x=-2 \sqrt{2} \quad \pi&lt;2 x&lt;2 \pi \) ，求 \( \dfrac{2 \cos ^2 \dfrac{x}{2}-\sin x-1}{\sqrt{2} \sin \left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)} \) 
解：\( \tan 2x=\dfrac{2 \tan x}{1-\tan^2x} =-\sqrt{2} \) 
\( \therefore \sqrt{2} {\tan^2 x- 2\tan x}- \sqrt{2}=0 \) 
\( \therefore \tan x=\sqrt{2} \) 或 \( \tan x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \) 
\( \because \dfrac{\pi}{2}&lt; x &lt; \pi \) &nbsp;
\( \therefore \tan x &lt;0 \) 
\( \therefore \quad \tan x=-\frac{\sqrt{2}}{2} \) 
原式\( =\dfrac{\cos x-\sin x}{\sin x+\cos x} \) ，分子分母同除以\( \cos x \) 
\( =\dfrac{1-\tan x}{1+\tan x}=\dfrac{1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}}=3+2 \sqrt{2} \) 
4.求\( \dfrac{\sin {47}º - \sin{17}º \cos 30º }{ \cos {17}º} \) 
解：&nbsp; \( \sin47º=\sin{(30º+17º)} \) ，所以
原式\( =\dfrac{ \sin{(30º+17º)} - \sin{17}º \cos 30º }{ \cos {17}º} \) 
=\( \dfrac{\sin 30º \cos {17}º}{ \cos {17}º} \) 
\( =\sin{30}º \) 
=\( \dfrac{1}{2} \) 
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5.求\( \sin {15}º= \) 
解：\( \sin 15^{\circ} =\sin \left(60^{\circ}-45^{\circ}\right) \) 
\( =\sin 60^{\circ} \cos 45^{\circ}-\cos 60^{\circ} \sin 45^{\circ} \) 
\( =\dfrac{(\sqrt{ 6}-\sqrt{2})}{4} \) 
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