最后更新: 2025-08-26 09:00 查看: 773 次反馈同步训练

施密特正交化过程

### 向量减法
在理解施密特正交化之前，还是回顾一下向量减法。在高中介绍过向量的三角形法则， $\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(\vec{-b})$, 表示如下，也就是向量减法里，向量的起点是$B$,终点是$A$, 即由$B$指向$A$, 详见 [向量加减](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=165)

![图片](/uploads/2024-11/87f055.jpg){width=200px} 
 记住这个结论，稍后将会用到。

>**重要** 在学习本文前务必理解了本章前面已经介绍的[向量投影](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1597)

## 施密特正交化简单解释
假设有两个线性无关的向量 $a$ 和 $b$, 现在标准正交化这两个向量，让它们变成互相垂直的 $q_1$ 和 $q_2$ 。 所谓向量正交化就是找到一组垂直的向量 $q_1$ 和 $q_2$，使得他们可以很容易的表示出$a$和$b$.

> 在理解正交化之前，我们举一个小例子：假设你是老师，要寻找班级里身高最高的学生，你会怎么做？你会让学生排成一排，然后从第一个学生开始，你默认他是班级里最高的，然后用第二个学生和第一个学生比较，如果第二个比第一个高，则交换他们的位置，否则，保持位置不变。 然后用第三个人还和“第一个”人比较，如果第三个人比第一个人高，则交换他们的位置，否则，保持不变，以此类推，最终，“第一个”人就是班级里最高的。施密特正交化的思想和此类似，给你一组向量，要找到一组互相垂直的向量，那我随便选一个作为基准，后续向量和他垂直即可。

现在有两个向量$a,b$，首先保持 $a$ 不变让向量 $A=a$ ，接下来要寻找到另一个向量 $B$ ，使得 $A \perp B$ (参考下图) 。假设$B$已经找到，容易看到$p$ 是 $b$ 在 $a$ 上的投影， 根据上面介绍的向量的三角形减法法则，$B$ 就相当于$b-p$
接下来的工作是看看$B$怎么用$a,b$来表示。

![图片](/uploads/2024-11/52ac5f.jpg)

$p$ 相当于 $a$ 放缩了 $x$ 倍，在一维空间内， $x$ 是一个标量，可以表示为 (参考[内积](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=491)):

$$
\begin{gathered}
x=\frac{a^T b}{a^T a} \\
p= x \boldsymbol{a}=\frac{a^T b}{a^T a} x \boldsymbol{a}  \\
\therefore B=b-p=b- \frac{a^T b}{a^T a} x \boldsymbol{a}
\end{gathered}
$$

**这相当于 $B$ 是 $b$ 减去 $b$ 在 $a$ 上的投影.**

最后将 $A$ 变成指向 $A$ 方向的单位向量， $B$ 变成指向 $B$ 方向的单位向量：

$$
q_1=\frac{A}{\|A\|}, \quad q_2=\frac{B}{\|B\|}
$$

这就是格拉姆-施密特正交化方法。

### 简单举例

假设有两个向量: $\boldsymbol{a}=\left[\begin{array}{c}5\\2\end{array} \right] $ 和 $\boldsymbol{b}=\left[\begin{array}{c}2\\3\end{array} \right]$

![图片](/uploads/2025-01/bc1172.jpg){width=350px}

仿照上面的步骤，看看怎么把他们正交化，我们必须时刻记着我们的目的是什么:找两个向量$A,B$，他们模长为1,且互相垂直。

所以，对于$A$直接使用$a$即可，即$A=\left[\begin{array}{c}5\\2\end{array} \right]$

可以看到，对于$A$还是非常好找的,直接令$A=a$即可。

接下来找$B$，我们先计算一下 $x=\dfrac{\boldsymbol{a^T b}}{\boldsymbol{a^T a}}$
因为两个[向量内积](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=491)，为两个向量坐标分量直接乘积，所以，

$$
\boldsymbol{a^T b}=[5,2] * \left[\begin{array}{c}2\\3\end{array} \right] = 16
$$
 
$$
\boldsymbol{a^T a}=[5,2] * \left[\begin{array}{c}5\\2\end{array} \right] = 29
$$

所以$x=\dfrac{16}{29}$

所以 $p=x\boldsymbol{a}= \dfrac{16}{29} (5,2)= (\dfrac{80}{29},\dfrac{32}{29})$

因此$B=b-p=\left[\begin{array}{c}2\\3\end{array} \right] - \left[\begin{array}{c} \frac{80}{29}\\\frac{32}{29}\end{array} \right]= \left[\begin{array}{c} \frac{-22}{29}\\  \frac{55 }{29} \end{array} \right] $

这样，我们就找到了一组互相垂直的向量$A,B$,即
$$
A=\left[\begin{array}{c}5\\2\end{array} \right]
$$

$$
B=\left[\begin{array}{c} \frac{-22}{29}\\  \frac{55 }{29} \end{array} \right]
$$

#### 单位化
上面找到的A,B是互相垂直的向量，但是我们还要向量的模长为1，所以需要把$A,B$单位化(单位化见[此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1598))。

$||A||=\sqrt{5^2+2^2}=\sqrt{29}$

$$
q_1= \left[\begin{array}{c}\frac{5}{\sqrt{29}}\\\frac{2}{\sqrt{29}}\end{array} \right]
$$

$||B||= \dfrac{11 \sqrt{29}}{29}$ ,所以

$$
q_2=\dfrac{1}{\sqrt{29}} \left[\begin{array}{c} -2\\5\end{array} \right]
$$

这样 $q_1,q_2$ 就是我们找到的正交向量组。

## 施密特正交化定义
设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r$ 是向量空间 $V$ 的一个基，从基 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r$ 出发，找一组两两正交的单位向量， $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_r ，$ 使 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_r$ 与 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 等价， 这个过程称为把基 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 规范正交化.

具体步骤如下:
第一步，将基 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 正交化 (施密特 (Schmidt) 正交化过程) .

$$
\begin{aligned}
& \beta_1=\alpha_1, \\

& \beta_2=\alpha_2-\frac{\left[\alpha_2, \beta_1\right]}{\left[\beta_1, \beta_1\right]} \beta_1, \\

&  \beta_3=\alpha_3-\frac{\left[\alpha_3, \beta_1\right]}{\left[\beta_1, \beta_1\right]} \beta_1-\frac{\left[\alpha_3, \beta_2\right]}{\left[\beta_2, \beta_2\right]} \beta_2 \text {, } \\
&
\end{aligned}
$$

第二步，将 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_r$ 单位化，得到 $\xi_1=\frac{1}{\left\|\beta_1\right\|} \beta_1, \quad \xi_2=\frac{1}{\left\|\beta_2\right\|} \beta_2, \cdots, \xi_r=\frac{1}{\left\|\beta_r\right\|} \beta_r$
于是， $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_2$ 就是 $V$ 的一个规范正交基.

> 上面计算里，$\left[\beta_1, \alpha_2\right]$ 表示 向量$\beta_1, \alpha_2$的内积（见下面例题）$\left[\beta_1, \beta_1\right]$ 表示 $\beta_1$和自己的内积，即模长的平方。

**记忆方法**

**施密特对角化看起来很复杂，但是有规律可循，假设给你四个向量$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$ 要用施密特正交化找到四个向量 $\beta_1,\beta_2,\beta_3,\beta_4$ 可以参考下面视频：（视频来B站自宋浩《线性代数》教材）**

`例`  设 $\boldsymbol{\alpha}_1=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_2=\left(\begin{array}{l}0 \\ 4 \\ 1\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_3=\left(\begin{array}{c}-2 \\ 1 \\

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