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等比数列
日期:
2023-08-29 20:44
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定义 等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列，常用 $G 、 P$ 表示。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 $q$ 表示 $(q \neq 0)$ ，等比数列 $a_1 \neq 0$ 。其中 $\left\{a_n\right\}$ 中的每一项均不为 0 。注: $q=1$ 时， $a_n$ 为常数列。 性质 如果一个等比数列的首项记作 $a$ ，公比记作 $q$ ，那么该等比数列第 $n$ 项的 $a_n$ 一般项为: $$ a_n=a q^{n-1} $$ 换句话说，任意一个等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 都可以写成 $$ \left\{a, a q, a q^2, \cdots, a q^{n-1}\right\} $$ 在一个等比数列中，给定任意两相连项 $a_{n+1}$ 和 $a_n$, 可知其公比 $$ q=\frac{a_{n+1}}{a_n} $$ 给定任意两项 $a_m$ 和 $a_n$ ，则有公比 $$ q=\sqrt[m-n]{\frac{a_m}{a_n}} $$ 此外，在一个等比数列中，选聂某一项，该项的前一项与后一项之积，为原来该项的平方。举例来说 $$ a_1 \times a_3=a_2^2 $$ 一般的有 $a_{n-1} \times a_{n+1}=a_n{ }^2$ ， 证明如下: $$ \begin{aligned} a_{n-1} \times a_{n+1} & =a q^{n-2} \times a q^n \\ & =a^2 \times q^{2 n-2} \\ & =\left(a q^{n-1}\right)^2 \\ & =a_n^2 \end{aligned} $$ 从另一个角度看，等比数列中的任意一项，是其前一项和后一项的几何平均 $$ a_n=\pm \sqrt{a_{n-1} \cdot a_{n+1}} $$ 此结果从上面直接可得。如果有整数 $m, n, p, q$ 使得 $m+n=p+q$ 那么则有: $$ a_m \cdot a_n=a_p \cdot a_q $$ 证明如下: $$ \begin{aligned} a_m \cdot a_n & =a q^{m-1} \cdot a q^{n-1} \\ & =a^2 a^{m+n-2} \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} & =a^2 q^{p+q-2} \\ & =a q^{p-1} \cdot a q^{q-1} \\ & =a_p \cdot a_q \end{aligned} $$ 由此可将上面的性质一般化成: $$ \begin{aligned} & a_{n-k} \cdot a_{n+k}=a_n{ }^2 \\ & a_n=\pm \sqrt{a_{n-k} \cdot a_{n+k}} \end{aligned} $$ 给定一个等比数列 $\left\{a_n\right\}$ ，则有: $\left\{b \cdot a_n\right\}$ 是等比数列。 $\left\{\frac{b}{a_n}\right\}$ 是等比数列。 $\left\{\log _b\left(a_n\right)\right\}$ 是等差数列。 从等比数列的一般项可知，任意一个可以写成 $$ a_n=p q^n $$ 等比数列和 一个等比数列的首 $n$ 项之和，称为等比数列和。其公式为 $$ S_n=\frac{a\left(1-q^n\right)}{1-q} $$ 其中 $a$ 为首项， $n$ 为项数， $q$ 为公比，且 $q \neq 1$ 公式证明如下: 将等比数列和写作以下形式: $$ S_n=a+a q+a q^2+\cdots+a q^{n-1} \ldots \cdots $$ 将两边同乘以公比 $q$ ，有: $$ q S_n=a q+a q^2+\cdots+a q^n \cdots \cdots $$ (1)式减去(2)式，有 $$ (1-q) S_n=a-a q^n $$ 当 $q \neq 1$ 时，移项得证 $$ S_n=\frac{a\left(1-q^n\right)}{1-q} $$ 当 $q=1$ 时可以发现: $$ S_n=a+a q+a q^2+\cdots+a q^{n-1} $$ $$ \begin{aligned} & =\underbrace{a+a+a+\cdots+a}_n \\ & =n \times a \\ & =a n \end{aligned} $$ 综上所述，等比数列的求和公式为 $$ S_n= \begin{cases}\frac{a\left(1-q^n\right)}{1-q} & r \neq 1 \\ a n & q=1\end{cases} $$ 等比数列的收敛性 当 $-1<q<1$ 时， $\lim _{n \rightarrow \infty} q^n=0$ 因此，我们可得无限项之和 (sum to infinity) 的公式为 $$ S_{\infty}=\frac{a}{1-q} $$ 会收敛到一个固定值 等比数列积 一个等比数列的首 $n$ 项之积，称为等比数列积 记作 $P_n$ 举例来说，等比数列 $\{1,2,4,8\}$ 的积是 $1 \times 2 \times 4 \times 8=64$ 等比数列求积的公式如下: $$ P_n=a^n \cdot q^{\frac{n(n-1)}{2}} $$ 证明如下 $$ \begin{aligned} P_n & =a \cdot a r \cdot a q^2 \cdots a q^{n-1} \\ & =a^n \cdot q^{0+1+2+\cdots+(n-1)} \end{aligned} $$
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