最后更新: 2025-08-24 04:41 查看: 627 次反馈同步训练

矩阵相似

## 矩阵相似
**定义** 设 $A, B$ 都是 $n$ 阶矩阵, 若有可逆矩阵 $P$, 使

$$
\boxed{
\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\boldsymbol{B} 
}
$$

则称 $B$ 是 $A$ 的相似矩阵，记做$ A \sim B$, 或者说矩阵 $A$ 与 $B$ 相似. 对 $A$ 进行运算 $P^{-1} A P$ 称为对$\boldsymbol{A}$ 进行**相似变换**。

可逆矩阵 $P$ 称为把 $\boldsymbol{A}$ 变成 $\boldsymbol{B}$ 的相似**变换矩阵**.

既然定义有了，现在有一个问题：给你一个矩阵$A$，如何求的他的相似矩阵$B$和$P$， 此时前面学的特征值和特征向量的作用就可以用上了。换句话说，学习特征值与特征向量，是为这里做准备的。

### 矩阵相似的求法

`例` 求 $A=\left(\begin{array}{ccc}7 & -1 & 7 \\ 2 & -1 & -5 \\ 4 & -8 & 7\end{array}\right)$ 的相似矩阵

解：只需求 1 个相似矩阵时，不妨令 $P=\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 1 & \\ & & 2\end{array}\right](|P| \neq 0)$ ，
则 $\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 1 & \\ & & 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}7 & -1 & 7 \\ 2 & -1 & -5 \\ 4 & -8 & 7\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 1 & \\ & & 1/2\end{array}\right]$ 即为所球

若需求所有的相似矩阵，对于矩阵 $P$ 满足 $|P| \neq 0$
$\frac{p^*}{|p|} A P$ 即为所求 $\left(p^*=p^{-1}|p|\right)$

从这里可以看到，如果任给一个矩阵$A$，要求他的相似矩阵，可以有无数个，因此，单纯的说求一个矩阵的相似矩阵，意义不大。

但是，如果我们把B限制为对角形矩阵，则情况立刻不一样，此时变换唯一，且可求解

## 矩阵相似对角形的求法
先给一个公式,后面 [矩阵与对角形相似](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2598) 会介绍，
$$
\boxed{
P^{-1}AP=\Lambda
}
$$

把上面这个公式稍微变形一下，左乘$P$,右乘 $P^{-1}$，就得到
$$
\boxed{
A=P \Lambda P^{-1}
}
$$

这说明**任意给一个矩阵A，可以找到一个对角形矩阵$\Lambda$ （有些找不到）**, 接下来一个问题，怎么找到这里的$P$和$\Lambda$ ？ 答案就是特征值与特征向量。

`例`  设矩阵

$$
A=\left(\begin{array}{rrr}
-2 & 1 & 1 \\
0 & 2 & 0 \\
-4 & 1 & 3
\end{array}\right)
$$

求他的相似矩阵$P$和$\Lambda$

解: 先求 $A$ 的特征值．

$$
\begin{aligned}
|A-\lambda E| & =\left|\begin{array}{ccc}
-2-\lambda & 1 & 1 \\
0 & 2-\lambda & 0 \\
-4 & 1 & 3-\lambda
\end{array}\right|=(2-\lambda)\left|\begin{array}{cc}
-2-\lambda & 1 \\
-4 & 3-\lambda
\end{array}\right| \\
& =(2-\lambda)\left(\lambda^2-\lambda-2\right)=-(\lambda+1)(\lambda-2)^2,
\end{aligned}
$$

所以 $A$ 的特征值为 $\lambda_1=-1, \lambda_2=\lambda_3=2$ ．
再求 $A$ 的特征向量．
当 $\lambda_1=-1$ 时，解方程 $(A+E) x=0$ ．由

$$
A+E=\left(\begin{array}{rrr}
-1 & 1 & 1 \\
0 & 3 & 0 \\
-4 & 1 & 4
\end{array}\right) \sim\left(\begin{array}{rrr}
1 & 0 & -1 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right)
$$

得对应的特征向量

$$
p _1=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
1
\end{array}\right)
$$

当 $\lambda_2=\lambda_3=2$ 时，解方程 $( A -2 E ) x = 0$ ．由

$$
A -2 E =\left(\begin{array}{rrr}
-4 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
-4 & 1 & 1
\end{array}\right) \simeq\left(\begin{array}{rrr}
-4 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right),
$$

得对应的线性无关特征向量

$$
\begin{aligned}
&p_2=\left(\begin{array}{r}
0 \\
1 \\
-1
\end{array}\right), p_3=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
4
\end{array}\right)  
\end{aligned}
$$

**分析上面的结论**：
通过上面的解，我们找到3个特征值和3个特征向量：

$\lambda_1=-1, \lambda_2=\lambda_3=2$

$$
\begin{aligned}

&p_1=\left(\begin{array}{r}
1 \\
0  \\
1
\end{array}\right),

&p_2=\left(\begin{array}{r}
0 \\
1 \\
-1
\end{array}\right), 
\quad

&p_3=\left(\begin{array}{r}
1 \\
0 \\
4
\end{array}\right)  
\end{aligned}
$$

> **我们只要把他们按照对应的位置排好即可，就可以找到相似矩阵**。

**排法1**：使用  $\lambda_1=-1, \lambda_2=\lambda_3=2$ 
即
若记

$$
\Lambda_1 =\left( \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 \right)=\left(\begin{array}{rrr}
-1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
1 & 0 & 2
\end{array}\right)
$$

$$
P_1 =\left( p _1, p _2, p _3\right)=\left(\begin{array}{rrr}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & -1 & 4
\end{array}\right)
$$

这样$A$就可以表示为 $A=P_1 \Lambda_1 P_1^{-1}$

**排法2**：使用  $\lambda_2=\lambda_3=2,\lambda_1=-1,$ 
排列，若记

$$
\Lambda_2 =\left( \lambda_2, \lambda_3, \lambda_1 \right)=\left(\begin{array}{rrr}
2 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & -1
\end{array}\right)
$$

$$
P_2 =\left( p_2, p _3, p _1\right)=\left(\begin{array}{rrr}
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0 \\
-1 & 4 & 1 \\
\end{array}\right)
$$

这样$A$就可以表示为 $A=P_2 \Lambda_2 P_2^{-1}$

可以看到，因为排法不同，其结果也不同，但是本质是一样的。

**相似的几何意义**
想在捋一捋矩阵相似的几何有意义，我们说过，一个矩阵相当于一个坐标系（不是坐标系里的值）， 你原来在$A$空间，通过相似映射后，你变成了$\Lambda$ 空间，  在$\Lambda$的空间里，因为 $\lambda_1=-1$ 所以，沿$x$方向方向相反，而 $\lambda_2=2, \lambda_3=2$， 所以，沿着$y,z$方向，进行了拉伸，参考下图。

通过变换后，下图右图小男孩看起来就漂亮多了

**所以，矩阵相似可以理解为换个空间角度观察认为，而特征值和特征向量相当于给我们找到那个比较的好的空间**

![图片](/uploads/2025-08/7d8f52.jpg)

## 相似矩阵定理
 
### 定理 1
若 $n$ 阶矩阵 $A$ 与 $B$ 相似，则 $A$ 与 $B$ 有相同的特征多项式，从而 $A$ 与 $B$ 有相同的特征值.
证明 因 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 相似，即有可逆矩阵 $P$ ，使 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\boldsymbol{B}$, 故

$$
|\boldsymbol{B}-\lambda \boldsymbol{E}|=\left|\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}-\boldsymbol{P}^{-1}(\lambda \boldsymbol{E}) \boldsymbol{P}\right|=\left|\boldsymbol{P}^{-1}(\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{E}) \boldsymbol{P}\right|=\left|\boldsymbol{P}^{-1}\right| \cdot|\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{E}| \cdot|\boldsymbol{P}|=|\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{E}| .
$$

### 推论 
若 $n$ 阶矩阵 $A$ 与对角阵

$$
\Lambda=\left(\begin{array}{llll}
\lambda_1 & & & \\
& \lambda_2 & & \\
& \ddots & \\
& & \lambda_n
\end{array}\right)
$$

相似,则 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ 即是 $A$ 的 $n$ 个特征值.
证明:若 $n$ 阶矩阵 $A$ 与 $B$ 相似，即 $P^{-1} A P=B$ ，则 $A^k=\left(P B P^{-1}\right)^k=P B^k P^{-1}$ ，并且 $A$ 的多项式

$$
\begin{aligned}
& \varphi(A)=a_m A^m+\cdots+a_1 A+a_0 E=a_m\left(P B P^{-1}\right)^m+\cdots+a_1\left(P B P^{-1}\right)+a_0 E=a_m\left(P B^m P^{-1}\right)+\cdots+a_1\left(P B P^{-1}\right)+a_0 E \\
&=P\left(a_m B^m\right) P^{-1}+\cdots+P\left(a_1 B\right) P^{-1}+P\left(a_0 E\right) P^{-1}=P\left(a_m B^m+\cdots+a_1 B+a_0 E\right)
\end{aligned}
$$

> 特别地，若有可逆矩阵 $P$ ，使 $P^{-1} A P=\Lambda$ 为对角阵，则$A^k=P \Lambda^k P^{-1}, \varphi(A)=P\varphi(\Lambda) P^{-1}$

而对于对角阵 $\Lambda=\operatorname{diag}\left(\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n\right)$ ，有

$$
\boldsymbol{\Lambda}^k=\left(\begin{array}{cccc}
\lambda_1^k & & & \\
& \lambda_2^k & & \\
& & \ddots & \\
& & & \lambda_n^k
\end{array}\right), \quad \varphi(\boldsymbol{\Lambda})=\left(\begin{array}{llll}
\varphi\left(\lambda_1\right) & & & \\
& \varphi\left(\lambda_2\right) & & \\
& & \ddots & \\
& & & \varphi\left(\lambda_n\right)
\end{array}\right) \text

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