最后更新: 2025-08-26 10:47 查看: 534 次反馈同步训练

矩阵相似对角化例题

`例`设 $A =\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ x & 1 & y \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right)$ 有三个线性无关的特征向量，求 $x$ 与 $y$ 应满足的条件.
解：因为矩阵 $A$ 是 3 阶矩阵，又有三个线性无关的特征向量，所以 $A$ 可以相似对角化. 由

$$
| A -\lambda E |=\left|\begin{array}{ccc}
-\lambda & 0 & 1 \\
x & 1-\lambda & y \\
1 & 0 & -\lambda
\end{array}\right|=(1-\lambda)\left|\begin{array}{cc}
-\lambda & 1 \\
1 & -\lambda
\end{array}\right|=-(\lambda-1)^2(\lambda+1),
$$

得到 $\bar{A}$ 的特征值为 $\bar{\lambda}_1=\bar{\lambda}_2=1, \lambda_3=-1$ 。

对应单根 $\lambda_3=-1$ ，可求得线性无关的特征向量恰好有 1 个，故对应重根 $\lambda_1=\lambda_2=1$ 应有 2 个线性无关的特征向量，即方程 $( A - E ) x =0$ 有 2 个线性无关的解，亦即系数矩阵 $A - E$的秩 $R( A - E )=1$ 。

$$
A - E =\left(\begin{array}{ccc}
-1 & 0 & 1 \\
x & 0 & y \\
1 & 0 & -1
\end{array}\right) r\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & -1 \\
0 & 0 & x+y \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right)
$$

可知，要使系数矩阵 $A - E$ 的秩 $R( A - E )=1$ ，必须 $x+y=0$ 。

`例`问下列矩阵哪个可以对角化：

$$
A =\left[\begin{array}{ccc}
-3 & 1 & -1 \\
-7 & 5 & -1 \\
-6 & 6 & -2
\end{array}\right] \quad B =\left[\begin{array}{lll}
1 & -3 & 3 \\
3 & -5 & 3 \\
6 & -6 & 4
\end{array}\right]
$$

解 对于 $A$ ，求其特征值与特征向量

$$
| A -\lambda I |=\left|\begin{array}{ccc}
-3-\lambda & 1 & -1 \\
-7 & 5-\lambda & -1 \\
-6 & 6 & -2-\lambda
\end{array}\right|=-(\lambda+2)^2(\lambda-4)
$$

令 $| A -\lambda I |=0$ ．故 $A$ 有特征值：$\lambda_1=\lambda_2=-2, \lambda_3=4$ ．对于二重根 $\lambda_1=-2$ ．求其特征向量：
由 $( A -\lambda I ) X =0$ 得

$$
\left[\begin{array}{ccc}
-1 & 1 & -1 \\
-7 & 7 & -1 \\
-6 & 6 & 0
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{array}\right]=0

免费注册看余下 50%

非VIP会员每天15篇文章，开通VIP 无限制查看

上一篇：矩阵可对角化的通俗解释

下一篇：代数重根与几何重根

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)