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指数函数
日期:
2023-08-29 19:52
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### 引言 初中我们已经学习了整数指数幂的知识, 例如 $$ \begin{aligned} & 2^5=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2=32, \\ & 3^0=1 \\ & 5^{-3}=\frac{1}{5^3}=2 \end{aligned}, . $$ 一般地, $a^n$ 中的 $a$ 称为底数, $n$ 称为指数. 整数指数幂运算的运算法则有 $$ \begin{array}{ll} a^m \cdot a^n=a^{m+n} & a^m \div a^n=a^{m-n} \\ \left(a^m\right)^n=a^{m \cdot n}=\left(a^n\right)^m & (a b)^n=a^n \cdot b^n \\ \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n} & \sqrt[n]{a^n}= \begin{cases}|a| & n \text { 为偶数 } \\ a & n \text { 为奇数 }\end{cases} \\ (\sqrt[n]{a})^n=a & a^{-p}=\frac{1}{a^p} \quad(a \neq 0) \\ a^0=1 \quad(a \neq 0) & \sqrt[m]{a^n}=a^{\frac{n}{m}} \end{array} $$ ### 指数函数 指数函数(英语: Exponential function) 是形式为 $y=a^x$ 的数学函数，其中 $a$ 是底数（或称基数， base)，而 $x$ 是指数 (index / exponent)。 即 函数 $y=a^x$ 称为指数函数, 其中 $a$ 是常数, $a>0$ 且 $a \neq 1$ . **小知识** 问：指数函数为什么要求$a>0$ 且 $a \neq 1$ 答：作为反证法，我们假设a可以取任意值。 ①当 $a=1$ 时， 则 $y=1^x=1$ ,从这里可以看到，不论$x$取何值，其值都是$1$。 ② 当 $a<0$时，假设去$a=-1$, 则函数为 $y=(-1)^x$ 在实数范围内，假设取 $x=\frac{1}{2}$， 则 $y=\sqrt{-1}$ , 显然，$y$在实数范围内无意义。 如果单单看上面2个要求，似乎也没必要非要限制$a>0$ 且 $a \neq 1$ ，其实，这里涉及到另外一个概念：对数。 当学习加法时，有减法和其对应，当学习乘法时有除非和其对应，同样的，当学了指数后，有对数和其对应。因此，指数的讨论必须也能满足和对数成为相反的定义。 根据上面的讨论，分析一下a的两种情况 ① 如果指数函数允许 $a=1$ ，那么对数函数 $y=\log _{a} x$ 就需要允许$a$也能等于1，但是我们知道 $y=1^x=1$ 当$x$等于任意数时，$y$都等于1，那么当$y=\log _{a} x =1$时，就会有无数个$x$和其对应，这显然不满足集合的映射条件，因此，规定 $a \neq 1$ ② 当 $a<0$时，其实，在实数里 $y=\sqrt{-1}$ 是无意义，但是在复数里是有意义的，例如： $$ \begin{aligned} \log (-2) & =\log (2 \times-1) \\ & =\log \left(2 \times i^2\right) \quad\left(\because i^2=-1\right) \\ & =\log 2+\log i^2 \\ & =\log 2+2 \log i \end{aligned} $$ 又，在复数里，有一个重要的公式：欧拉公式，$ e^{i x}=\cos x+i \sin x $ $$ \begin{aligned} i & =0+i \cdot 1 \\ i & =\cos \pi / 2+i \cdot \sin \pi / 2=e^{i \pi / 2} \\ \log i & =\log \left(e^{i \pi /2}\right) \\ & =i \pi / 2 \log e \\ & =i \pi / 2 \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} \therefore \log (-2) & =\log 2+2 \log i \\ & =\log 2+2 \cdot i \pi / 2 \\ \therefore \log (-2) & =\log 2+i \pi \end{aligned} $$ 可以看到，在初等数学里， 如果 $a<0$，会导致对数的解法脱离了初等数学函数范畴，因此，为了方便研究， 就强制要求 $a>0$ 且 $a \neq 1 $ 
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2023-08-29 19:52
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