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概率论与数理统计
第三篇 多维随机变量及其分布
二维正态分布
最后更新:
2023-10-01 11:28
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二维正态分布
定义2 如果 $(X, Y)$ 的联合密度函数为 $$ \begin{aligned} & f(x, y)=\frac{1}{2 \pi \sigma_1 \sigma_2 \sqrt{1-\rho^2}} \cdot \exp \left\{-\frac{1}{2\left(1-\rho^2\right)}\left[\frac{\left(x-\mu_1\right)^2}{\sigma_1^2}-\frac{2 \rho\left(x-\mu_1\right)\left(y-\mu_2\right)}{\sigma_1 \sigma_2}+\frac{\left(y-\mu_2\right)^2}{\sigma_2^2}\right]\right\} \\ & -\infty<x<+\infty,-\infty<y<+\infty \text {, 其中 }-\infty<\mu_1, \mu_2<+\infty, \sigma_1, \sigma_2>0,|\rho|<1 . \end{aligned} $$ 则称 $(X, Y)$ 服从参数为 $\mu_1, \mu_2, \sigma_1^2, \sigma_2^2, \rho$ 的二维正态分布， 并记为 $(X, Y) \sim N\left(\mu_1, \mu_2, \sigma_1^2, \sigma_2^2, \rho\right)$. 其中 $$ -\infty<\mu_1, \mu_2<+\infty, \sigma_1, \sigma_2>0,|\rho|<1, $$
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