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数列极限的性质
日期:
2022-12-27 14:01
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定理 1 (极限的唯一性) 数列 $\left\{x_n\right\}$ 不能收敛于两个不同的极限. 证明 (反证法) 假设同时有 $x_n \rightarrow a(n \rightarrow \infty)$ 及 $x_n \rightarrow b(n \rightarrow \infty)$ 不妨设 $a<b$ ， 取 $\varepsilon=\frac{b-a}{2}>0$. 由 $x_n \rightarrow a$ 可知， $\exists N_1>0$ ，当 $n>N_1$ 时，恒有 $\left|x_n-a\right|<\varepsilon=\frac{b-a}{2}\left(x_n<\frac{a+b}{2}\right)$ 由 $x_n \rightarrow b$ 可知， $\exists N_2>0$ ，当 $n>N_2$ 时，恒有 $\left|x_n-b\right|<\varepsilon=\frac{b-a}{2}\left(x_n>\frac{a+b}{2}\right)$ 取 $N=\max \left\{N_1, N_2\right\}$ ，当 $n>N$ 时， $x_n<\frac{a+b}{2^{\prime}} x_n>\frac{a+b}{2}$ 同时成立，矛盾. 因此，数列 $\left\{x_n\right\}$ 不能收敛于两个不同的极限. 数列 $\left\{x_n\right\}$ 有界是指存在 $M>0$ ， 使一切 $x_n$ 满足 $\left|x_n\right| \leq M$. 定理 2 ( 收敛数列的有界性 ) 如果数列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛，则该数列一定有界. 证明 不妨设 $x_n \rightarrow a(n \rightarrow \infty)$ ，则 $\forall \varepsilon>0 \quad \exists N>0$ ，当 $n>N$ 时，恒有 $\left|x_n-a\right|<\varepsilon$. 取 $\varepsilon=1$ ，则任何 $n>N$ ，有 $\left|x_n\right|=\left|\left(x_n-a\right)+a\right| \leq\left|x_n-a\right|+|a|<1+|a|$. 因此，取 $M=\max \left\{\left|a_1\right|,\left|a_2\right|, \cdots,\left|a_N\right|, 1+|a|\right\}$ ，则对一切 $n$ ，均有 $\left|x_n\right| \leq M$ ， 即数列 $\left\{x_n\right\}$ 有界. 如果数列无界， 则其一定发散； 如果数列有界， 则其末必收敛．例如， 数列 $\left\{(-1)^n\right\}$ 有界 $\left|x_n\right|=1$ ，但发散. 在数列 $\left\{x_n\right\}$ 中任意抽取无限项并保持这些项在原数列 $\left\{x_n\right\}$ 中的先后次序， 由此得 到的一个新数列称为 $\left\{x_n\right\}$ 的子数列(子列)，记作 $\left\{x_{n_k}\right\} \quad\left(n_k \geq k\right)$. 定理 4 如果数列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛于 $a$ ，则它的子数列 $\left\{x_{n_k}\right\}$ 也收敛于 $a$. 证明 由数列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛于 $a$ ，则 $\forall \varepsilon>0 ， \exists N>0$ 当 $n>N$ 时，恒有 $\left|x_n-a\right|<\varepsilon$. 取 $K=N$ ，则当 $k>K$ 时， $n_k>n_K=n_N>N$ ，有 $$ \left|x_{n_k}-a\right|<\varepsilon_1 $$ 故子数列 $\left\{x_n\right\}$ 也收敛于 $a$. 由定理 4 可以得到，若数列 $\left\{x_n\right\}$ 的某个子列发散或某两个子列收敛于两个不同 的数值，则数列 $\left\{x_n\right\}$ 必发散. 例如， $\left\{(-1)^n\right\}$ 的奇数子列 $\left\{(-1)^{2 n+1}\right\}=\{-1\}$ 收玫于 $-1$ ，偶数子列 $\left\{(-1)^{2 n}\right\}=\{1\}$ 收敛于 1 ，可知数列 $\left\{(-1)^n\right\}$ 发散. 可以证明: 若数列 $\left\{x_n\right\}$ 的奇数子列 $\left\{x_{2 n+1}\right\}$ 和偶数子列 $\left\{x_{2 n}\right\}$ 均收敛于 $a$ ，则数列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛且极限为 $a$ ，反之亦然. 我们仅就 $x \rightarrow x_0$ 的情况给出性质. 定理 5 (函数极限的唯一性) 如果 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)$ 存在，那么该极限唯一. 证明过程与数列极限的唯一性的证明相似，略. 定理 6 (函数极限的局部有界性) 如果 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)$ ，那么存在常数 $M>0$ 和 $\delta>0(X>0)$ ， 使得当 $0<\left|x-x_0\right|<\delta \quad$ 时， 有 $|f(x)| \leq M$. 证明 设 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=A$ ，则 $\forall \varepsilon>0 ， \exists \delta>0$ ，当 $0<\left|x-x_0\right|<\delta$ 时，恒有 $|f(x)-A|<\varepsilon$. 取 $\varepsilon=1$ ，则 $$ |f(x)|=|f(x)-A+A| \leq|f(x)-A|+|A|<1+|A| $$ 记 $M=1+|A|$ ，则 $|f(x)| \leq M$. 定理 7(函数极限的局部保号性) 如果 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=A$ ，且 $A>0$ (或 $A<0$ )，那么 存在 $\delta>0$ ，使得当 $0<\left|x-x_0\right|<\delta$ 时，有 $f(x)>0$ (或 $f(x)<0$ ). 证明 设 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=A ， A>0$ ， 取 $\varepsilon=\frac{A}{2}$ ，则 $\exists \delta>0$ ，当 $0<\left|x-x_0\right|<\delta$ 时，恒有 $|f(x)-A|<\varepsilon=\frac{A}{2}$. 则 $f(x)>A-\frac{A}{2}=\frac{A}{2}>0$ 同理可证 $A<0$ 情形. 从定理 7 的证明中可知，在其条件下，还可有更强的结论: 推论 1 如果 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=A \quad(A \neq 0)$ ，那么存在 $\delta>0$ ，使得当 $0<\left|x-x_0\right|<\delta$ 时，有 $$ |f(x)|>\frac{|A|}{2} \text {. } $$ 同时有下述结论. 推论 2 如果函数 $f(x)$ 满足: 存在 $\delta>0$ ，使得当 $0<\left|x-x_0\right|<\delta$ 时， $f(x)>0$ (或 $f(x)<0$ )，且 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=A$ ， 那么必有 $A \geq 0$ (或 $A \leq 0$ ). 证明(反证法) 略. 定理 8 (函数极限与数列极限的关系) 若 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)$ 存在， $\left\{x_n\right\}$ 为 $f(x)$ 的定义域内 的任一收敛于 $x_0$ 的数列，且 $x_n \neq x_0(n \in \mathbf{N})$ ，则 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 收敛，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_n\right)=\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)$. 证明 设 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=A_{\text {， 则 }}$ $\forall \varepsilon>0 ， \exists \delta>0$ ，当 $0<\left|x-x_0\right|<\delta$ 时，恒有 $|f(x)-A|<\varepsilon$. 又 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=x_0$ ， 则 对上述 $\delta>0 \quad \exists N>0$ ， 当 $n>N$ 时，恒有 $\left|x_n-x_0\right|<\delta$. 故 $\forall \varepsilon>0 ， \exists \delta>0$ ，当 $n>N$ 时，恒有 $\left|x_n-x_0\right|<\delta$ ，且 $x_n \neq x_0(n \in \mathbf{N})$ ，即 $0<\left|x_n-x_0\right|<\delta$ ， 从而有 $\left|f\left(x_n\right)-A\right|<\varepsilon$. 进而得到 $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_n\right)=A=\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)$. 注 根据本定理，可知取一数列 $x_n \rightarrow x_0(n \rightarrow \infty)$ ，若 $f\left(x_n\right)$ 的极限不存在， 则 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)$ 不存在，或取两数列 $x_n^{\prime} \rightarrow x_0(n \rightarrow \infty) ， x_n^{\prime \prime} \rightarrow x_0(n \rightarrow \infty)$ ， 若 $f\left(x_n^{\prime}\right)$ 与 $f\left(x_n^{\prime \prime}\right)$ 的极限不相同，则 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)$ 不存在. 例 4 证明函数 $f(x)=\sin \frac{1}{x}$ 当 $x \rightarrow 0$ 时极限不存在(见图1-44).  证明 取 $x_n^{\prime}=\frac{1}{2 n \pi+\frac{\pi}{2}} \rightarrow 0(n \rightarrow \infty) ， \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_n^{\prime}\right)=1$ ， 取 $x_n^{\prime \prime}=\frac{1}{2 n \pi} \stackrel{2}{\rightarrow} 0(n \rightarrow \infty) ， \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_n^{\prime \prime}\right)=0$. 因此，函数 $f(x)=\sin \frac{1}{x}$ 当 $x \rightarrow 0$ 时极限不存在. 定理 9 (数列极限的运算法则) 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a ， \lim _{n \rightarrow \infty} y_n=b$ ，则 (1) $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_n \pm y_n\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} x_n \pm \lim _{n \rightarrow \infty} y_n=a \pm b ；$ （加减法则) (2) $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_n \cdot y_n\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} x_n \cdot \lim _{n \rightarrow \infty} y_n=a \cdot b ； \quad$ (乘法法则) (3) $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{x_n}=\sqrt{\lim _{n \rightarrow \infty} x_n}=\sqrt{a}\left(x_n \geq 0, a \geq 0\right)$ ； (交换法则) (4) $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_n}{y_n}=\frac{\lim _{n \rightarrow \infty} x_n}{\lim _{n \rightarrow \infty} y_n}=\frac{a}{b}\left(\lim _{n \rightarrow \infty} y_n=b \neq 0\right)$ ； (除法法则) 定理10 (函数极限的四则运算法则) 设 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=A ， \lim _{x \rightarrow x_0} g(x)=B$ ，则 (1) $\lim _{x \rightarrow x_0}[f(x) \pm g(x)]=A \pm B=\lim _{x \rightarrow x_0} f(x) \pm \lim _{x \rightarrow x_0} g(x)$ (2) $\lim _{x \rightarrow x_0}[f(x) \cdot g(x)]=A \cdot B=\lim _{x \rightarrow x_0} f(x) \cdot \lim _{x \rightarrow x_0} g(x)$ (3) $\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}=\frac{\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)}{\lim _{x \rightarrow x_0} g(x)}(B \neq 0)$ 定理11(复合函数的极限运算法则) 设函数 $y=f[g(x)]$ 是由函数 $u=g(x)$ 与 $y=f(u)$ 复合而成的 . $f[g(x)]$ 在点 $x_0$ 的去心邻域内有定义，若 $\lim _{x \rightarrow x_0} g(x)=u_0$ $\lim _{u \rightarrow u_0} f(u)=A$, 且存在 $\delta_0>0$ ， 当 $x \in \stackrel{\circ}{U}\left(x_0, \delta_0\right)$ 时，有 $g(x) \neq u_0$ ，则 $$ \lim _{x \rightarrow x_0} f[g(x)]=\lim _{u \rightarrow u_0} f(u)=A . $$ 证明 对于 $\forall \varepsilon>0$ ， 由于 $\lim _{u \rightarrow u_0} f(u)=A$ ，故 $\exists \eta>0$ ，当 $0<\left|u-u_0\right|<\eta$ 时，恒有 $|f(u)-A|<\varepsilon$. 又 $\lim _{x \rightarrow x_0} g(x)=u_0$ ，则对上述 $\eta>0 \quad \exists \delta_1>0$ ， 当 $0<\left|x-x_0\right|<\delta_1$ 时， 恒有 $\left|g(x)-u_0\right|<\eta$ 因此，取 $0<\left|u-u_0\right|<\eta_{\text {～}}$ 当 $\eta>0$ 时， $\exists \delta_1>0$ 及 $0<\left|x-x_0\right|<\delta_1$ 同时成立， 从而 $|f[g(x)]-A|=|f(u)-A|<\varepsilon$. 则 $\lim _{x \rightarrow x_0} f[g(x)]=\lim _{u \rightarrow u_0} f(u)=A$.
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