最后更新: 2025-04-11 11:12 查看: 1082 次反馈刷题

正弦图像与余弦图像

## 正弦函数物理实验
> 因为余弦可以通过正弦平移$\frac{\pi}{2}$得到，仅是相位差不同，所以通常这两个函数一起研究。

数学和物理是密切融合的一家人，对于余弦函数图像，通常是从物理实验得到的理解。如图（a）所示，将盛有细沙的漏斗吊在支架上，支架下方放一块硬纸板，漏斗静止时恰好位于直线 $O O^{\prime}$ 的正上方。沿垂直 $O O^{\prime}$ 的方向拉开漏斗，使悬线以较小的角度偏离坚直方向，释放漏斗后其在垂直于 $O O^{\prime}$ 的方向上自由摆动。漏斗摆动的同时沿着 $O O^{\prime}$ 的方向匀速拉动硬纸板。可以发现，沙子在纸板上的轨迹就是一条正弦曲线。
 ![图片](/uploads/2025-01/1e2b9e.svg){width=300px}

### 正弦函数的图象
我们可以利用单元圆画出 $y=\sin x$ 在区间 $[0,2 \pi]$ 上的图象．如下图
 ![91.gif](/uploads/2025-02/9015e5.gif)
  
  上图可以简化为如下：
 ![图片](/uploads/2025-01/9323f7.jpg)
 
随着弧度数 $x_0$ 的改变，可以得到函数 $y=\sin x$ 图象上的其他点．为方便起见，可将圆 $O_1$ 平均分成 12 等份 ，使 $x_0$ 的值依次取 $0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}, \cdots, 2 \pi$ ，借助于它们的正弦线，依次作出函数 $y=\sin x$ 图象上的点 $(0, \sin 0),\left(\frac{\pi}{6}, \sin \frac{\pi}{6}\right),\left(\frac{\pi}{3}, \sin \frac{\pi}{3}\right),\left(\frac{\pi}{2}, \sin \frac{\pi}{2}\right), \cdots,(2 \pi, \sin 2 \pi)$ ，用一条光滑的曲线将这些点依次连接起来，就得到函数 $y=\sin x$ 在区间 $[0,2 \pi]$ 上的图象，如图5．3－2．
  ![图片](/uploads/2025-01/92093b.jpg)
  
  由于 $\sin (x+2 k \pi)=\sin x$ 对所有整数 $k$ 都成立，因此，将 $y=\sin x$ 在区间 $[0$ ， $2 \pi]$ 上的图象逐次向左和向右平移 $2 \pi$ 个单位长度，就可以得到正弦函数 $y=\sin x$ ， $x \in R$ 的图象（如图 5．3－3）．
   ![图片](/uploads/2025-01/dad51e.jpg)
   
 
正弦曲线在区间 $[0,2 \pi]$ 上有五个点（最高点，最低点，与 $x$ 轴的交点）

$$
(0,0),\left(\frac{\pi}{2}, 1\right),(\pi, 0),\left(\frac{3 \pi}{2},-1\right),(2 \pi, 0)
$$

对曲线的升降起伏起着关键作用．在精度要求不太高的时候，只要画出了这五个点，曲线的大致形状就基本确定了，将它们依次连成光滑曲线，就得到正弦曲线的简图。正弦曲线的这种近似画法称为＂五点法＂。

## 怎样作余弦函数 $y=\cos x$ 的图象？
由 $\sin \left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos x$ 可知，只需把 $y=\sin x$ 的图象向左平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位长度即可，如图 5．3－4．

![图片](/uploads/2025-01/518d58.jpg)
 
 
> 在教学中，老师通常教导我们使用5点作图法，通常是五点作图法。取一个周期内的三个零点和二个极点。即，$y=A \sin (\omega x+\varphi) \text { 令 } \omega x+\varphi=0, \pi / 2, \pi, 3 \pi / 2,2 \pi $  做出图像。

## 正弦函数
正弦函数 $y=sin x$
**周期性**：正弦函数是周期函数，其周期为 $2 \pi$（以弧度为单位）。这意味着 $sin(θ+2πk)=sin(θ)$，其中 $k$ 是任意整数。

**奇偶性**：正弦函数是奇函数，即 $sin(−θ)=−sin(θ)$。

**定义域**： 全体实数$R$

**值域** ：正弦函数的值域是 $[−1,1]$，即 $−1≤sin(θ)≤1$。

**对称性** ：正弦函数图像关于原点对称。

**导数** ：正弦函数的导数是余弦函数，即 $(sinθ)'=cos(θ)$

![图片](/uploads/2024-09/8bdcd2.svg)

## 余弦函数
余弦函数 $y=cos x$，

**周期性**： 余弦函数是周期函数，其周期为 $2\pi$。这意味着对于所有的 $x$，都有 $\cos(x + 2\pi) = \cos x$。

**奇偶性**： 余弦函数是偶函数。即，对于所有的 $x$，都有 $\cos(-x) = \cos x$。

**值域：** 余弦函数的值域是 $[-1, 1]$，即 $-1 \leq \cos x \leq 1$。

**定义域**：余弦函数的定义域是所有实数集，即 $x \in \mathbf{R}$。
 
 **对称性** ：余弦函数图像关于$y$轴对称。
 
**导数** ：余弦函数的导数是负正弦函数，即 $(cosθ)'=-sin(θ)$

![图片](/uploads/2024-09/102d62.svg)

`例`用＂五点法＂画出下列函数的简图：

（1）$y=1+\sin x, x \in[0,2 \pi]$ ；
（2）$y=2 \cos x, x \in[0,2 \pi]$ ．
解：（1） 按五个关键点列表：
 ![图片](/uploads/2025-01/f3c661.jpg)
 描点并将这些点连接起来，如下图
  ![图片](/uploads/2025-01/078549.jpg)

（2） 按五个关键点列表：
 ![图片](/uploads/2025-02/ec72b5.jpg)
  描点并将这些点连接起来，如下图
   ![图片](/uploads/2025-02/97783c.jpg)

## 正弦函数的性质
1．周期性
由诱导公式 $\sin (x+2 k \pi)=\sin x(k \in Z )$ 可知，当自变量 $x$ 增加或减少 $2 \pi$ 的整数倍时， $\sin x$ 的值会重复出现．为了定量地描述这种变化规律，我们引人周期函数的概念。

一般地，对于函数 $y=f(x)$ ，如果存在非零常数 $T$ ，使得当 $x$ 取定义域内每一个值时，$x \pm T$ 都有定义，并且

$$
f(x \pm T)=f(x),
$$

则称函数 $y=f(x)$ 为**周期函数**，$T$ 称为这个函数的一个周期．
如果 $T$ 是函数 $y=f(x)$ 的周期，则由 $f(x)=f(x+T)=f((x+T)+T)=f(x+$ $2 T)$ 知道 $2 T$ 也是它的周期，同理可知 $T$ 的所有非零整数倍都是 $y=f(x)$ 的周期。

按照这个概念，$y=\sin x, y=\cos x$ 都是周期函数， $2 \pi$ 及 $2 \pi$ 的所有非零整数倍也都是它们的周期．但从图象上可以看出，比 $2 \pi$ 更小的正数不可能是 $y=\sin x$ ， $y=\cos x$ 的周期．也就是说：这两个函数的图象向右平移比 $2 \pi$ 更短的距离不可能与原来的曲线重合，我们称 $2 \pi$ 是 $y=\sin x, y=\cos x$ 的最小正周期．最小正周期常简称为周期

2．值域与最值
从三角函数的定义和图象可知：正弦函数，余弦函数的值域都是 $[-1,1]$ ，最大值都是 1 ，最小值都是 -1 。

对于正弦函数 $y=\sin x$ ，当且仅当 $x=\frac{\pi}{2}+2 k \pi(k \in Z )$ 时取得最大值 1 ，当且仅当 $x=-\frac{\pi}{2}+2 k \pi(k \in Z )$ 时取得最小值 -1 ．

对于余弦函数 $y=\cos x$ ，当且仅当 $x=2 k \pi(k \in Z )$ 时取得最大值 1 ，当且仅当$x=(2 k+1) \pi(k \in Z )$ 时取得最小值 -1.

3．奇偶性
观察正弦曲线和余弦曲线，可以看到：正弦曲线关于原点 $O$ 对称，正弦函数 $y=\sin x$ 应该是奇函数；余弦曲线关于 $y$ 轴对称，余弦函数 $y=\cos x$ 应该是偶函数．

由诱导公式 $\sin (-x)=-\sin x$ 知，正弦函数 $y=\sin x$ 是奇函数．
由诱导公式 $\cos (-x)=\cos x$ 知，余弦函数 $y=\cos x$ 是偶函数．

4．单调性
我们可以先在正弦函数 $y=\sin x$ 的一个周期的区间 $\left(\right.$ 如 $\left.\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]\right)$ 上讨论它的单调性，再利用它的周期性，将单调性扩展到整个定义域．
 ![图片](/uploads/2025-01/dc773d.jpg)
 如图 5．3－7，可以看到：
当 $x$ 由 $-\frac{\pi}{2}$ 增大到 $\frac{\pi}{2}$ 时，曲线逐渐上升， $\sin x$ 的值由 -1 单调递增到 1 ；当 $x$ 由 $\frac{\pi}{2}$ 增大到 $\frac{3 \pi}{2}$ 时，曲线逐渐下降， $\sin x$ 的值由 1 单调递减到 -1 ．

`例`利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
（1） $\sin (-1), \sin (-1.1)$ ；
（2） $\cos \frac{11 \pi}{7}, \cos \frac{12 \pi}{7}$ ．

解（1）由于 $-\frac{\pi}{2}<-1.1<-1<\frac{\pi}{2}$ ，且 $y=\sin x$ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ 上单调递增，因此

$$
\sin (-1)>\sin (-1.1)
$$

（2）由于 $\pi<\frac{11 \pi}{7}<\frac{12 \pi}{7}<2 \pi$ ，且 $y=\cos x$ 在区间 $[\pi, 2 \pi]$ 上单调递增，
因此

$$
\cos \frac{11 \pi}{7}<\cos \frac{12 \pi}{7}
$$

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