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导数的定义
日期:
2022-12-27 19:31
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**定义** 设函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 的某个邻域内有定义，当 $x$ 在 $x_0$ 处增量为 $\Delta x$ $\left(x_0+\Delta x\right.$ 在该邻域内）时，相应地，函数有增量 $\Delta y=f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)$. 如果 $$ \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}=\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0} $$ 存在，则称该极限为 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数，记为 $$ \left.f^{\prime}\left(x_0\right) ， \quad y^{\prime}\right|_{x=x_0},\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=x_0} \text { 或 }\left.\frac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d} x}\right|_{x=x_0} $$ 这时也称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导. 如果该极限不存在，称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处不可导. 特别地，如果 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\infty$ 时，也称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数为无穷大. 例如，对于函数 $y=x^2$, 在点 $x=0$ 处 (见图2-7)， $$ \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(0+\Delta x)^2-0}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \Delta x=0 \text { ， 极限存在. } $$  而对于函数 $y=|x|$, 在点 $x=0$ 处（见图2-8)， $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{|0+\Delta x|-|0|}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{|\Delta x|}{\Delta x}$ ， 极限不存在. 由此可知，函数 $y=|x|$ 在 $x=0$ 处不可导，而 $y=x^2$ 在 $x=0$ 处导数为零，即 $\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=x_0}=0$.  导数是一种特殊的极限，是概括了各种各样的变化率概念而得出的一个 更一般性、也更抽象的概念. $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 是函数 $y=f(x)$ 在 $\left[x_0, x_0+\Delta x\right]$ 上的平均变 化率，而导数 $\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d}}\right|_{x=x_0}$ 则反映函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处的瞬时变化率，它实 际反映函数随自变量变化而变化的“快慢程度" . 如果 $y=f(x)$ 在 $(a, b)$ 内的每一点处均可导，则称 $y=f(x)$ 在 $(a, b)$ 内可导. 这时 $(a, b)$ 内的每一点都对应一个导数值，由函数的定义就可以得到一 个新函数，则称这个函数为原来函数的导函数，简称为导数，记作 $f^{\prime}(x) ， y^{\prime}$ ， $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ 或 $\frac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d} x}$ ， 即有 $f^{\prime}(x)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$ 显然，函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处的导数，就是导函数 $f^{\prime}(x)$ 在 $x_0$ 处的函数值 $f^{\prime}\left(x_0\right)=\left.f^{\prime}(x)\right|_{x=x_0}$ 例1 求函数 $y=x^3$ 在 $x=1$ 处的导数 $f^{\prime}(1)$. 解 当 $x$ 由 1 变到 $1+\Delta x$ 时，函数相应的增量为 $$ \begin{aligned} & \Delta y=(1+\Delta x)^3-1^3=3 \cdot \Delta x+3 \cdot(\Delta x)^2+(\Delta x)^3 \\ & \frac{\Delta y}{\Delta x}=3+3 \Delta x+(\Delta x)^2, \end{aligned} $$ 所以 $$ f^{\prime}(1)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0}\left(3+3 \Delta x+(\Delta x)^2\right)=3 $$ 例2 设 $f^{\prime}(0)$ 存在，试求下列各极限: (1) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(2 x)-f(0)}{x}$ (2) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}$, 其中 $f(0)=0$ 解 (1) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(2 x)-f(0)}{x}=\lim _{2 x \rightarrow 0} \frac{f(2 x)-f(0)}{\frac{1}{2} \cdot(2 x-0)}=2 \cdot \lim _{2 x \rightarrow 0} \frac{f(2 x)-f(0)}{2 x-0}=2 f^{\prime}(0)$; (2) 因为 $f(0)=0$, 于是 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f^{\prime}(0)$. 下面根据导数的定义求一些简单函数的导数. 例3 求 $f(x)=C(C$ 为常数)的导数. 解 $$ (C)^{\prime}=\lim _{\Delta \mathrm{x} \rightarrow 0} \frac{C-C}{\Delta x}=0 $$ 例4 求 $f(x)=x^n$ ( $n$ 为正整数)的导数. 解 $\left.\left(x^n\right)^{\prime}\right|_{x=x_0}=\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{x^n-x_0^n}{x-x_0}=\lim _{x \rightarrow x_0}\left(x^{n-1}+x_0 x^{n-2}+\cdots+x_0^{n-1}\right)=n x_0^{n-1}$ 即 $\left(x^n\right)^{\prime}=n x^{n-1}$. 一般地，当 $x \neq 0 ， y=x^\mu$ 有定义时， $$ \left(x^\mu\right)^{\prime}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x+\Delta x)^\mu-x^\mu}{\Delta x}=x^\mu \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)^\mu-1}{\Delta x}=x^\mu \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\mu \frac{\Delta x}{x}}{\Delta x}=\mu x^{\mu-1} $$ 当 $x=0$ 时， $y=x^\mu$ 有定义时也有上式成立. 例如，取 $\mu=\frac{1}{2}$ ，则有 $(\sqrt{x})^{\prime}=\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ ； 取 $\mu=-1$ ，则有 $\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime}=-\frac{1}{x^2}$. 例5 求 $f(x)=\sin x$ 的导数. 䏸 $$ (\sin x)^{\prime}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\sin (x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{2 \cos \left(x+\frac{\Delta x}{2}\right) \sin \frac{\Delta x}{2}}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \cos \left(x+\frac{\Delta x}{2}\right) \frac{\sin \frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}}=\cos x $$ 同理 $(\cos x)^{\prime}=-\sin x$ 例6 求 $f(x)=a^x(a>0, a \neq 1)$ 的导数. 解 $\left(a^x\right)^{\prime}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{a^{x+\Delta x}-a^x}{\Delta x}=a^x \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}=a^x \ln a$ 特别地，当 $a=\mathrm{e}$ 时， $\left(\mathrm{e}^x\right)^{\prime}=\mathrm{e}^x \ln \mathrm{e}=\mathrm{e}^x$ ， 即以 $\mathrm{e}$ 为底的指数函数的导数就是它本身. 例7 求 $f(x)=\log _a x(a>0, a \neq 1)$ 的导数. 解 $$ \left(\log _a x\right)^{\prime}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\log _a(x+\Delta x)-\log _a x}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\log _a\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\frac{\Delta x}{x}}{\Delta x \cdot \ln a}=\frac{1}{x \ln a} $$ 特别地， $(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}$
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