最后更新: 2025-04-12 14:17 查看: 548 次反馈刷题

求导公式

## 函数导数得定义
如果函数 $y=f(x)$ 在其定义域内的每一点 $x$ 都可导, 则称 $f(x)$ 可导. 此时, 对定义域内的每一个值 $x$, 都对应一个确定的导数 $f^{\prime}(x)$. 于是, 在 $f(x)$ 的定义域内, $f^{\prime}(x)$ 是一个函数, 这个函数通常称为函数 $y=f(x)$ 的导函数, 记作 $f^{\prime}(x)$ (或 $y^{\prime}, y_x^{\prime}$ ), 即

$$
f^{\prime}(x)=y^{\prime}=y_x^{\prime}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} .
$$

导函数通常也简称为导数.  当然, 如果已知函数 $f(x)$ 的导函数是 $f^{\prime}(x)$, 那么可以方便地求得这个函数在 $x=x_0$ 处的导数 $f^{\prime}\left(x_0\right)$ : 只要将 $x=x_0$ 代人导函数的表达式即可. 这也说明, 如果函数 $f(x)$ 的导函数存在, 那么曲线 $y=f(x)$ 在每一点处的切线都存在.

## 导数表
前人早已为我们解决了初等函数的求导公式，为便于应用，我们把这些基本初等函数的求导公式列出如下，需要记住。

(1) $(c)^{\prime}=0$;
(2) $\left(x^a\right)^{\prime}=\alpha x^{\alpha-1}(\alpha \neq 0)$;
(3) $\left( e ^x\right)^{\prime}= e ^x$;
(4) $\left(a^x\right)^{\prime}=a^x \ln a(a>0, a \neq 1)$;
(5) $(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}$;
(6) $\left(\log _a x\right)^{\prime}=\frac{1}{x \ln a}(a>0, a \neq 1)$;
(7) $(\sin x)^{\prime}=\cos x$;
(8) $(\cos x)^{\prime}=-\sin x$;
(9) $(\tan x)^{\prime}=\frac{1}{\cos ^2 x}$.

## 求导公式的证明
下面我们对上面的部分公式进行证明，供有兴趣的同学学习。
### 简单函数的证明
 `例` 若 $f(x)=\frac{1}{x}$, 则

$$
\frac{f(x+d)-f(x)}{d}=\frac{\frac{1}{x+d}-\frac{1}{x}}{d}=\frac{x-(x+d)}{x(x+d) d}=-\frac{1}{x(x+d)} .
$$

当 $d \rightarrow 0$ 时, $-\frac{1}{x(x+d)} \rightarrow-\frac{1}{x^2}$, 所以

$$
\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime}=-\frac{1}{x^2}
$$

`例` 若 $f(x)=\sqrt{x}$, 则

$$
\begin{aligned}
\frac{f(x+d)-f(x)}{d} & =\frac{\sqrt{x+d}-\sqrt{x}}{d} \\
& =\frac{(\sqrt{x+d}-\sqrt{x})(\sqrt{x+d}+\sqrt{x})}{(\sqrt{x+d}+\sqrt{x}) d} \\
& =\frac{(x+d)-x}{(\sqrt{x+d}+\sqrt{x}) d} \\
& =\frac{1}{\sqrt{x+d}+\sqrt{x}} .
\end{aligned}
$$

当 $d \rightarrow 0$ 时, $\frac{1}{\sqrt{x+d}+\sqrt{x}} \rightarrow \frac{1}{2 \sqrt{x}}$, 所以

$$
(\sqrt{x})^{\prime}=\frac{1}{2 \sqrt{x}} .
$$

`例`若 $f(x)=x^n \quad\left(n\right.$ 是正整数), 则 $f^{\prime}(x)=n x^{n-1}$
证明: 由自变量的改变量 $\Delta x$ 引起的函数改变量为

$$
\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)=(x+\Delta x)^n-x^n
$$

按牛顿二项式定理展开, 得

$$
\begin{aligned}
\Delta y & =x^n+n x^{n-1} \Delta x+\frac{n(n-1)}{1 \cdot 2} x^{n-2}(\Delta x)^2+\cdots+n x(\Delta x)^{n-1}+(\Delta x)^n-x^n \\
& =n x^{n-1} \Delta x+\frac{n(n-1)}{1 \cdot 2} x^{n-2}(\Delta x)^2+\cdots+n x(\Delta x)^{n-1}+(\Delta x)^n
\end{aligned}
$$

其中差商
$$
\begin{aligned}
&\frac{\Delta y}{\Delta x}=n x^{n-1}+\frac{n(n-1)}{1 \cdot 2} x^{n-2} \Delta x+\cdots+n x(\Delta x)^{n-2}+(\Delta x)^{n-1}\\
\end{aligned}
$$

式中除第一项外, 其余各项随 $\Delta x \rightarrow 0$ 因此:
$$
\begin{aligned}
&f^{\prime}(x)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=n x^{n-1}
\end{aligned}
$$

## 例题

`例`已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x, g(x)=\ln x$, 求 $f^{\prime}(x), g^{\prime}(x)$.
解 在 $\left(a^x\right)^{\prime}=a^x \ln a$ 中令 $a=\mathrm{e}$, 可得

$$
\left(\mathrm{e}^x\right)^{\prime}=\mathrm{e}^x \ln \mathrm{e}=\mathrm{e}^x,
$$

因此 $f^{\prime}(x)=\mathrm{e}^x$.
在 $\left(\log _a x\right)^{\prime}=\frac{1}{x \ln a}$ 中令 $a=\mathrm{e}$, 可得 $\left(\log _{\mathrm{e}} x\right)^{\prime}=\frac{1}{x \ln \mathrm{e}}$, 即

$$
(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x},
$$

因此 $g^{\prime}(x)=\frac{1}{x}$.

`例`求曲线 $y=\sin x$ 在 $(0, \sin 0)$ 处的切线方程.

解 因为 $(\sin x)^{\prime}=\cos x$, 因此所求切线的斜率为 $\cos 0=1$, 又因为 $\sin 0=0$, 因此所求切线方程为

$$
y-0=1(x-0),
$$

即 $y=x$.

`例` 利用切线的斜率求 $\sin 1^{\circ}$ 的近似值.
解：记 $f(x)=\sin x$.
当 $x \rightarrow 0$ 时, $\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{\sin x}{x} f^{\prime}(0)=\cos 0=1$.
这说明: 当 $|x|$ 很小时, 有近似公式 $\sin x \approx x$.
因此, $\sin 1^{\circ}=\sin \frac{\pi}{180} \approx \frac{\pi}{180} \approx 0.01745$.
注意：这里是弧度。

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