由参数方程确定的函数的导数

日期: 2022-12-27 20:20 查看: 88 次

考虑由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=\varphi(t) \\ y=\psi(t)^{\prime}\end{array}\right.$ (其中 $t$ 为参数) 确定的函数 $y=y(x)$ 的导数 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$. 如果能从 $x=\varphi(t)$ 中解出 $t=\varphi^{-1}(x)$ ，则由 $y=\psi\left(\varphi^{-1}(x)\right)$ 求得导数 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$. 这个方法 实质是消去参数 $t$ ，但这个工作是困难的（有时是不可能的，如 $\left\{\begin{array}{l}x=\sin t+\mathrm{e}^t \\ y=t^2+\cos t\end{array}\right.$. 现在我们希望有一种方法，能直接由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=\varphi(t) \\ y=\psi(t)\end{array}\right.$ 算出它们所确定的函数 的导数. 下面就来讨论这种求导数的方法.

如果 $x=\varphi(t)$ 的反函数为 $t=\varphi^{-1}(x)$ ， 且它满足反函数的求导条件，则可将 $y=\psi\left[\varphi^{-1}(x)\right]$ 看作 $y=\psi(t)$ 与 $t=\varphi^{-1}(x)$ 的复合函数.
利用反函数的求导法则，得

$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t} \cdot \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{~d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t} \cdot \frac{1}{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}}=\frac{\psi^{\prime}(t)}{\varphi^{\prime}(t)}
$$

这里 $\varphi^{\prime}(t) \neq 0$ 是反函数的求导法则中的条件之一.

如果 $x=\varphi(t) 、 y=\psi(t)$ 二阶可导，则有二阶导数

$$
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right) & =\frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right)}{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}}=\frac{\frac{\varphi^{\prime}(t) \psi^{\prime \prime}(t)-\varphi^{\prime \prime}(t) \psi^{\prime}(t)}{\left[\varphi^{\prime}(t)\right]^2}}{\varphi^{\prime}(t)} \\
& =\frac{\varphi^{\prime}(t) \psi^{\prime \prime}(t)-\varphi^{\prime \prime}(t) \psi^{\prime}(t)}{\left[\varphi^{\prime}(t)\right]^3}
\end{aligned}
$$

类似地，我们可求得更高阶的导数.

例19 已知圆的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=a \cos t \\ y=a \sin t^{\prime}\end{array}(a>0)\right.$ ，求 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$.
解 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}}{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}}=\frac{(a \sin t)^{\prime}}{(a \cos t)^{\prime}}=\frac{a \cos t}{-a \sin t}=-\cot t$

例20 设参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=a \cos ^3 \varphi \\ y=b \sin ^3 \varphi\end{array}(a, b>0)\right.$ ，求 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$.
解 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} \varphi}}{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} \varphi}}=\frac{3 b \sin ^2 \varphi \cos \varphi}{3 a \cos ^2 \varphi(-\sin \varphi)}=-\frac{b}{a} \tan \varphi$

例21 设参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\ln \left(1+t^2\right) \\ y=t-\arctan t\end{array}\right.$ ，求 $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}$.
解

$$
\begin{aligned}
& \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}}{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}}=\frac{1-\frac{1}{1+t^2}}{\frac{2 t}{1+t^2}}=\frac{t}{2} ; \\
& \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right)=\frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right)}{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2 t}{1+t^2}}=\frac{1+t^2}{4 t} .
\end{aligned}
$$

例22 设参数方程为 $\left\{\begin{array}{c}x=a(t-\sin t) \\ y=a \sin t\end{array}\right.$ ，求 $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}$.
解

$$
\begin{gathered}
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}}{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}}=\frac{a \sin t}{a(1-\cos t)}=\frac{\sin t}{1-\cos t^{\prime}} \\
\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right)=\frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right)}{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}}=\frac{\frac{\cos t(1-\cos t)-\sin t \cdot \sin t}{(1-\cos t)^2}}{a(1-\cos t)}=-\frac{1}{a(1-\cos t)^2} .
\end{gathered}
$$

例22 设参数方程为 $\left\{\begin{array}{c}x=a(t-\sin t) \\ y=a \sin t\end{array}\right.$ ，求 $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}$.
或直接运用公式求二阶导数:
由 $x_t^{\prime}=a(1-\cos t) ， y_t^{\prime}=a \sin t ， x_t^{\prime \prime}=a \sin t ， y_t^{\prime \prime}=a \cos t$ 得

$$
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2} & =\frac{\varphi^{\prime}(t) \psi^{\prime \prime}(t)-\varphi^{\prime \prime}(t) \psi^{\prime}(t)}{\left[\varphi^{\prime}(t)\right]^3} \\
& =\frac{a(1-\cos t) a \cos t-a^2 \sin ^2 t}{a^3(1-\cos t)^3}=-\frac{1}{a(1-\cos t)^2} .
\end{aligned}

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