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附录：极坐标与参数方程
柱坐标
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2023-10-06 08:03
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柱坐标
## 圆柱坐标系 圆柱坐标系 (英语: cylindrical coordinate system) 是一种三维坐标系统。它是二维极坐标系往 $z$-轴的延伸。添加的第三个坐标 $z$ 专门用来表示 $P$ 点离 $\mathrm{xy}$-平面的高低。按照国际标准化组织建立的约定 (ISO 31-11) ，径向距离、方位角、高度，分别标记为 $(\rho, \phi, z)$ 。 {width=300px} ## 柱坐标与直角坐标系转换 如图右，P 点的圆柱坐标是 $(\rho, \phi, z)$ 。 - $\rho$ 是 $\mathrm{P}$ 点与 $z$-轴的垂直距离。 - $\phi$ 是线 OP 在 $x y$-面的投影线与正 $x$-轴之间的夹角。 - $z$ 与直角坐标的 $z$ 等值。 {width=400px} 使用以下方程式，可以从圆柱坐标转换为直角坐标。 $$ \left\{\begin{array}{l} & x=\rho \cos \phi \\ & y=\rho \sin \phi \\ & z=z \end{array}\right. \quad ， \left\{\begin{array}{l} \rho & =\sqrt{x^2+y^2} \\ \phi & =\arctan \left(\frac{y}{x}\right) \\ z & =z \end{array}\right. $$
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