瑕积分

日期: 2022-12-30 10:54 查看: 90 次

如果函数 $f(x)$ 在点 $x=a$ 的任一邻域内都无界, 则称点 $a$ 为函数 $f(x)$ 的瑕点 (也称为无界间断点)，无界函数的反常积分也称瑕积分.
定义 4 设函数 $f(x)$ 在 $(a, b]$ 上连续，点 $a$ 为函数 $f(x)$ 的瑕点，任取 $\varepsilon>0$ ， 如果极限 $\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^0} \int_{a+\varepsilon}^b f(x) \mathrm{d} x$ 存在，则称此极限为函数 $f(x)$ 在 $(a, b]$ 上的反常积分， 仍记作 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$, 即

$$
\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \int_{a+\varepsilon}^b f(x) \mathrm{d} x ，
$$

也称反常积分 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ 收玫. 如果极限 $\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^f} \int_{a+\varepsilon}^b f(x) \mathrm{d} x$ 不存在，则称反常积分 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ 发散.

定义 5 设函数 $f(x)$ 在 $[a, b)$ 上连续，点 $b$ 为函数 $f(x)$ 的瑕点，任取 $\varepsilon>0$ ， 如果极限 $\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \int_a^{b-\varepsilon} f(x) \mathrm{d} x$ 存在，则称此极限为函数 $f(x)$ 在 $[a, b)$ 上的反常积分， 仍记作 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$. 即

$$
\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^0} \int_a^{b-\varepsilon} f(x) \mathrm{d} x,
$$

也称反常积分 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ 收玫. 如果极限 $\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^0} \int_a^{b-\varepsilon} f(x) \mathrm{d} x$ 不存在，则称反常积 分 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ 发散.

定义 6 设函数 $f(x)$ 在 $[a, c),(c, b]$ 上连续，点 $c$ 为函数 $f(x)$ 的瑕点，如果 $\int_a^c f(x) \mathrm{d} x$ 及 $\int_c^b f(x) \mathrm{d} x$ 均收玫，则定义

$$
\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=\int_a^c f(x) \mathrm{d} x+\int_c^b f(x) \mathrm{d} x,
$$

否则称 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ 发散.
无界函数的反常积分在形式上与定积分没有区别，故需要注意对它的识别.

若 $F^{\prime}(x)=f(x), x \in(a, b)$ ，则 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=F(b)-F(a)$ ，其中
当 $a$ 为函数 $f(x)$ 的瑕点且 $F^{\prime}(a)=f(a)$ 时， $F(a)=\lim _{x \rightarrow a^{+}} F(x)$ ； 当 $b$ 为函数 $f(x)$ 的瑕点且 $F^{\prime}(b)=f(b)$ 时， $F(b)=\lim _{x \rightarrow b^{-}} F(x)$.

例 5 计算反常积分 $\int_0^1 \ln x \mathrm{~d} x$.
解 $\int_0^1 \ln x \mathrm{~d} x=\left.x \ln x\right|_0 ^1-\int_0^1 \mathrm{~d} x=\left.(x \ln x-x)\right|_0 ^1=-1$,
其中 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x \ln x=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(-x)=0$.

例 6 讨论反常积分 $\int_0^1 \frac{1}{x^q} \mathrm{~d} x$ 的敛散性.
解 当 $q=1$ 时， $\int_0^1 \frac{1}{x} \mathrm{~d} x=\left.\ln |x|\right|_0 ^2=\ln 1-\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \ln |x|$, 由于 $\quad \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \ln |x|=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \ln x=-\infty$ ， 极限不存在，故反常积分 $\int_0^1 \frac{1}{x} \mathrm{~d} x$ 发散； 当 $q \neq 1$ 时， $\int_0^1 \frac{1}{x^q} \mathrm{~d} x=\left.\frac{x^{1-q}}{1-q}\right|_0 ^1=\left\{\begin{array}{cc}+\infty, & q>1 \\ \frac{1}{1-q}, & q<1\end{array}\right.$. 因此 $\int_0^1 \frac{1}{x^q} \mathrm{~d} x$ 当 $q \geq 1$ 时发散，当 $q<1$ 时收敛.
注 由例 6 可知, $\int_0^{+\infty} \frac{1}{x^q} \mathrm{~d} x$ 发散 (对任何 $q$ ).
例 7 计算反常积分 $\int_0^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{e}^{-\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$.
解 这个反常积分既是无穷限的，又有瑕点，故需要分开讨论.

$$
\begin{aligned}
\int_0^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{e}^{-\sqrt{x}} \mathrm{~d} x & =\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{e}^{-\sqrt{x}} \mathrm{~d} x+\int_1^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{e}^{-\sqrt{x}} \mathrm{~d} x \\
& =-\left.2 \mathrm{e}^{-\sqrt{x}}\right|_0 ^1+-\left.2 \mathrm{e}^{-\sqrt{x}}\right|_1 ^{+\infty}=-2(0-1)=2 .
\end{aligned}
$$

例 8 讨论反常积分 $\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2} \mathrm{~d} x$ 的剑散性.
解 由于 $\int_{-1}^0 \frac{1}{x^2} \mathrm{~d} x=-\left.\frac{1}{x}\right|_{-1} ^0$ (或 $\int_0^1 \frac{1}{x^2} \mathrm{~d} x=-\left.\frac{1}{x}\right|_0 ^1$ ）发散，则 $\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2} \mathrm{~d} x$ 发散.
注 如果忽视瑕点 $x=0$ ，则会出现错误结果:

$$
\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2} \mathrm{~d} x=-\left.\frac{1}{x}\right|_{-1} ^1=-1-1=-2 .
$$

例 9 讨论反常积分 $\int_0^2 \frac{\mathrm{d} x}{x^2-4 x+3}$ 的玫散性.
解 由 $\int_0^2 \frac{\mathrm{d} x}{x^2-4 x+3}=\int_0^2 \frac{\mathrm{d} x}{(x-3)(x-1)}$ ，
知 $x=1$ 为瑕点，因此先考虑 $\int_0^1 \frac{\mathrm{d} x}{x^2-4 x+3}$ ，由于

$$
\begin{aligned}
\int_0^1 \frac{\mathrm{d} x}{x^2-4 x+3} & =\int_0^1 \frac{\mathrm{d} x}{(x-3)(x-1)}=\frac{1}{2} \int_0^1\left(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-1}\right) \mathrm{d} x \\
& =\left.\frac{1}{2} \ln \left|\frac{x-3}{x-1}\right|\right|_0 ^1=\frac{1}{2}\left(\lim _{x \rightarrow 1} \ln \left|\frac{x-3}{x-1}\right|-\ln 3\right)
\end{aligned}
$$

因为 $\lim _{x \rightarrow 1} \ln \left|\frac{x-3}{x-1}\right|$ 不存在，故 $\int_0^1 \frac{\mathrm{d} x}{x^2-4 x+3}$ 发散，因此 $\int_0^2 \frac{\mathrm{d} x}{x^2-4 x+3}$ 发散.

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