微分方程

日期: 2022-12-30 13:40 查看: 103 次

1.微分方程的定义
含有末知函数及其导数与自变量的等式称为微分方程(其中自变量、 末知函数可以在方程中不出现, 但末知函数的导数必须出现).

2. 微分方程的阶:
   微分方程中出现的末知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶..
   一阶微分方程的一般形式为

$$
F\left(x, y, y^{\prime}\right)=0 .
$$

例如方程 $y^{\prime}-y-x^2=0,(y)^2-x^3 y^4=0, x\left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right)^2-2 y \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=0$ 都是一阶微分方程.
二阶微分方程的一般形式为

$$
F\left(x, y, y^{\prime}, y^{\prime \prime}\right)=0 .
$$

例如方程 $\left(y^{\prime \prime}\right)^2-y-x^2=0, \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}-2 y \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+\sin x=0$ 都是二阶微分方程.

$n$ 阶微分方程的一般形式是:

$$
F\left(x, y, y^{\prime}, y^{\prime \prime} \cdots, y^{(n)}\right)=0,
$$

其中 $x$ 为自变量, $y=y(x)$ 是末知函数. 在方程 $(10)$ 中 $y^{(n)}$ 必须出现, 而其他变 量可以不出现, 例如, $n$ 阶方程 $y^{(n)}=\mathrm{e}^x$.
如果能从方程(10)中解出最高阶导数, 就得到微分方程

$$
y^{(n)}=f\left(x, y, y^{\prime}, \cdots, y^{(n-1)}\right) \text {. }
$$

以后我们讨论的微分方程组主要是形如(11)的微分方程, 并且假设(11)式右 端的表达式 $f$ 在所讨论的范围内连续.

如果方程(11)可表为如下形式:
, . . . - $y^{(n)}+a_1(x) y_{-1}^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}(x) y^{\prime}+a_n(x) y=g(x)$
则称方程 (12) 为 $n$ 阶线性微分方程. 其中 $a_1(x), a_2(x), \cdots, a_n(x)$ 和 $g(x)$ 均为自变 量 $x$ 的已知函数.
不能表示成形如(12)式的微分方程, 统称为非线性方程.

3、微分方程的解:
在研究实际问题时, 首先要建立属于该问题的微分方程, 然后找出满足该微 分方程的函数 解微分方程), 也就是说, 把这个函数代入微分方程能使方程成为 恒等式, 称这个函数为该微分方程的解. 更确切地说, 设函数 $y=\varphi(x)$ 在区间 $I$ 上有 $n$ 阶连续导数, 如果在区间 $I$ 上, 有

$$
F\left(x, \varphi(x), \varphi^{\prime}(x), \varphi^{\prime \prime}(x) \cdots, \varphi^{(n)}(x)\right)=0,
$$

则称函数 $y=\varphi(x)$ 为微分方程 (10) 在区间 $I$ 上的解.

微分方程的解可能含有也可能不含有任意常数. 含有相互独立的任意常数, 且任意常数的个数与微分方程的阶数相等的解称为微分方程的通解(一般解). 般地, 微分方程的不含有任意常数的解称为微分方程的特解. 方程的通解是一类 解, 而不是指方程的 “全部解”. 实际上, 我们在求解方程时得到一些解, 很难说 明这些解是否构成了方程的 “全部解”, 这种工作有时会比求解方程本身还困难, 而实际工作中又告诉我们无须去做这样的工作, 因此我们将关注点放在求方程 的通解和特解上.
注 这里所说的相互独立的任意常数, 是指它们不能通过合并而使得通解 中的任意常数的个数减少.

4, 微分方程的初值问题:
许多实际问题都要求寻找满足某些附加条件的解, 此时, 这类附加条件就可 以用来确定通解中的任意常数, 这类附加条件称为初始条件. 例如, 条件(2)和(5) 分别是微分方程(1)和(4)的初始条件.
带有初始条件的微分方程称为微分方程的初值问题.
5, 微分方程的积分曲线:
微分方程的解的图形是一条曲线, 称为微分方程的积分曲线. 由于通解中含 有任意常数, 所以它的图形是具有某种共同性质的积分曲线族. 例如, 例 1 中的 通解 $y=x^2+C$ 是抛物线族, 这些图形的共性是每一条抛物线上任意一点 $M(x, y)$ 处的斜率均为 $2 x$. 而方程的特解是过点 $(1,2)$ 的一条抛物线, 也就是说, 特解是积分曲线中满足初始条件的某一条特定的积分曲线(见图 4-1).

例 4 设一物体的温度为 $100^{\circ} \mathrm{C}$, 将其放置在空气温度为 $20^{\circ} \mathrm{C}$ 的环境中冷却. 根据冷却定律:物体温度的变化率与物体和当时空气温度之差成正比, 设物体的 温度 $T$ 与时间 $t$ 的函数关系为 $T=T(t)$, 则可建立起函数 $T(t)$ 满足的微分方程

$$
\frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{~d} t}=-k(T-20)
$$

其中 $k(k>0)$ 为比例常数. 这就是物体冷却的数学模型.
根据题意, $T=T(t)$ 还需满足条件

$$
\left.T\right|_{t=0}=100 .
$$

例 5 设一质量为 $m$ 的物体只受重力的作用由静止开 始自由垂直降落. 根据牛顿第二定律:物体所受的力 $F$ 等 于物体的质量 $m$ 与物体运动的加速度 $a$ 成正比, 即 $F=m a$, 若取物体降落的铅垂线为 $x$ 轴, 其正向朝下, 物 体下落的起点为原点, 并设开始下落的时间是 $t=0$, 物体 下落的距离 $x$ 与时间 $t$ 的函数关系为 $x=x(t)$ (见图 4-2), 则 可建立起函数 $x(t)$ 满足的微分方程

$$
\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{~d} t^2}=g
$$

其中 $g$ 为重力加速度常数. 这就是自由落体运动的数学模型. 根据题意, $x=x(t)$ 还需满足条件

$$
x(0)=0,\left.\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}\right|_{t=0}=0 .
$$

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例 6 试指出下列方程是什么方程, 并指出微分方程的阶数.
(1) $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=x^2+y$;
(2) $x\left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right)^2-2 \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+4 x=0$;
(3) $x \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}-2\left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right)^3+5 x y=0$;
(4) $\cos \left(y^{\prime \prime}\right)+\ln y=x+1$.
解 (1) 该方程是一阶线性微分方程, 因方程中含有的 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ 和 $y$ 都是一次.
(2) 该方程是一阶非线性微分方程, 因方程中含有的 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ 的平方项.
(3) 该方程是二阶非线性微分方程, 因方程中含有的 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ 的三次方.
(4) 该方程是二阶非线性微分方程, 因方程中含有非线性函数 $\cos \left(y^{\prime \prime}\right)$ 和 $\ln y$.

例 7 验证函数 $y=\left(x^2+C\right) \sin x(C$ 为任意常数)是方程

$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}-y \cot x-2 x \sin x=0
$$

的通解, 并求满足初始条件 $\left.y\right|_{x=\frac{\pi}{2}}=0$ 的特解.
解 要验证一个函数是否是方程的通解, 只要将函数代入方程, 看是否恒等 再看函数式中所含的独立的任意常数的个数是否与方程的阶数相同. 对 $y=\left(x^2+C\right) \sin x$ 求一阶导数, 得 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=2 x \sin x+\left(x^2+C\right) \cos x$,
把 $y$ 和 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ 代入方程左边得

$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}-y \cot x-2 x \sin x=2 x \sin x+\left(x^2+C\right) \cos x-\left(x^2+C\right) \sin x \cot x-2 x \sin x \equiv 0 .
$$

因方程两边恒等, 且 $y$ 中含有一个任意常数, 故 $y=\left(x^2+C\right) \sin x$ 是题设方程 的通解.
将初始条件 $\left.y\right|_{x=\frac{\pi}{2}}=0$ 代入通解 $y=\left(x^2+C\right) \sin x$ 中,
得 $0=\frac{\pi^2}{4}+C$, 从而 $C=-\frac{\pi^2}{4}$.
从而所求特解为

$$
y=\left(x^2-\frac{\pi^2}{4}\right) \sin x \text {. }
$$

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